Referat Behauptung

Behauptung: x2 = 2     x ist nicht Element aus Q Annahme: x2 = 2 x ist Element aus Q

Wenn es eine Losung fUr x gibt kann es nur ein Dezimalbruch sein, da man mit einem abbrechenden Bruch nicht auf die Wurzel von 2 kommen kann.

Also: x2 = 2   (plq = 2 x = plq

q kann nicht 1 sein weil die Wurzel aus 2 zwischen 1 und 2 liegt. Wenn der Nenner namlich

1 ware wUrde der Bruch 1 ;3 er konnte also nicht zwischen 1 und 2 liegen. Da plq vollstandig gekUrzt ist sind p und q teilerfremd und Element aus N.

Wenn x2 = 2 mit plq erfUllt werden soll muss gelten:

x2 = 2 ≈ (plq)2 = 2 ≈ p2lq2 = 2

Wenn q nicht 1 ist kann q2 auch nicht 1 sein und da p und q teilerfremd sind kann der Bruch keine NatUrliche Zahl enthalten also auch keine 2, es gilt:

p2lq2 nicht Element aus N ≈ p2lq2 ≠ 2

FUr x2 = 2 existiert keine rationale Losung.