Referat Exponentialfunktionen

_{Exponentialfunktionen}

Definition: Zuordnungen der Form

x q ^x                              (qI |R )

heißen Exponentialfunktionen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen: 1. für jede Exponentialfunktion gilt:

a: der Graph der Funktion

- steigt für q > 1, die Funktion ist streng monoton steigend

- sie fällt für 0 < q < 1, die Funktion ist streng monoton fallend

b: der Graph liegt oberhalb der x-

Achse, daraus folgt: die Menge

aller Funktionswerte ist R

c: der Graph approximiert

- den negativen Teil der x- Achse für q > 1

- den positiven Teil der x-Achse für 0 < q < 1

Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen: - Kapitalanlagen

-     Pflanzenwuchs

- Gleichmäßiges Wachstum

-     Zerfall von Stoffen

Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die

Hochzahl variabel.

_Beispiel:

Die Funktion x 2^x ; x I |R heißt Exponentialfunktion zur Basis

Für diese Funktion gilt:

(1) Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend.

2) Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle

Zahl als Funktionswert an. Für x < 0 ist 0 < 2^x < 1,

für x = 0 ist 2^x = 1, für x > 0 ist 2^x > 1.

(3) Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist

Asymptote des Graphen.

(4) Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert ^x mit 2^s multipliziert.

y

_{-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5} ^x

  bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht. Siehe oben !!!

Lineares Wachstum einer Grö e y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag. Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = mx + b

Exponentielles Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen

Faktor b Wachstumsfaktor).

Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = a b^x

_{Logarithmusfunktionen:}

_{Gegeben seien zwei positive Zahlen y und q (wobei q = . Wir suchen diejenige}

(Hoch-)Zahl x, mit der man q potenzieren muß, um y zu erhalten: y = b^x

Diese Zahl x heißt der Logarithmus von y zur Basis q; Bezeichnung: x = log_b y.

_{Logarithmengesetze:}

(L1 : log_b (u * v) = log_b u + log_b v (für u , v I |R )

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

(L2 : log_b (u^t) = t * log_b u (für u , t I |R )

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus der Hochzahl und dem

Logarithmus der Basiszahl.

(L1*): log_b ^u _v) = log _b u - log_b v (für u , v I |R )

Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz des Logarithmus

des Zählers und des Logarithmus des Nenners.

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen:

Für jede Logarithmusfunktion x wird zugeordnet log_b x; xI|R mit b > 1 gilt: (1) Der Graph steig; die Funktion ist streng monoton steigend

2) Die menge aller Funktionswerte ist |R. Es gilt

log_b   x < 0 für 0 < x < 1 log_b  x = 0 für x = 1

log_b x > 0 für x > 1

(3) Der Graph approximiert den negativen Teil der Y-Achse.

(4) Die Graphen aller Logarithmusfunktionen haben den Punkt P (1;0) und nur diesen

Gemeinsam.

Graph der o.g. Logarithmusfunktion:

Die Lorarithmusfunktion ist eine Umkehrung der Exponentialfunktion. Gegeben seien zwei positive Zahlen y und b (b ungleich . Es wird die (Hoch-) Zahlx gesucht, mit der man b potenzieren muß um y zu erhalten.

_{Übungsaufgabe:}

Eine Größe y wachse exponentiell. In der Zeiteinheit x = 1 wachse sie an mit dem Faktor b. Zum Zeitpunkt x = 0 habe sie den Wert a.

a) Fülle die Tabelle aus.

b) Zeige: Zum Zeitpunkt x hat die Größe y den Wert y = a b^x

Zeit                              Größe y

0 a

1 [ ]

2 [ ]

3 [ ]

.

.

.

x [ ]