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Freie harmonische Schwingung
s-t-Schaubild sinusförmig ; v-t-Schaubild cosinusförmig ; a-t-Schaubild -sinusförmig .
v(t) = 
s (t) ; a(t)
= 
v (t)
= 
s (t) T t unabh. von Amplitude > f konst. .
Weiteres Beispiel :
w = 2 p f = (2 p)/T Winkelgeschw.
s(t)=
ŝ sin(wt); v(t)= ŝ w cos(wt) (ŝ
w =
(v^)); a(t)= - ŝ w² sin(wt) (ŝ w² = a).
m* a(t) = F ~ s(t) ; F = -Ds ; -Ds = -mw²s > w² = D/m ( analog f & T ) .
für harm. Schwing.
Bes. Anfangsbed.: t=0s und : s 0m ; v (v^) > s(t) = ŝ sin(wt)
Ss 0m ; v (v^) >
s(t) = ŝ sin(wt)
Ss v >
s(t) = ŝ cos(wt)
Ss ŝ
; v >
s(t) = ŝ cos(wt)
allg.: s(t) = ŝ sin(wt + Nullpunktsphasenwinkel ) wt = Phasenwinkel
Elongation s : s(a) = d * L
d im Bogenmaß)
Rückstellkraft F res = F
= sin (d * G
A sehr klein : sin d d
Harm. Schwing.
Harm. Schwinger
Richtgröße D = (m* g)/L
w² = D/m = g/L
(entsprechend f & T)
Über Ahnlichkeit :
F= -2D(1 - L/l)s ; l² =l ² + s²
für kl. s bleibt l fast konst.
F/s = D 2D(1 - L/l)
EES bei harm. Schwing.
Elongationsenergie . NN der Lageenergie so wählen , dass in
Gleichgewichtslage (s=0) W Elong = 0 J .
s= ŝ ;
v=0 :
s= 0 ; v
max. : W B = ½ m (v^) ; (v^) = ŝ w ; w² = D/m ; W B = ½ D
ŝ ² .
s belieb. V bzw. t zugehörig : W B +W Elong = ½ mv² + ½ Ds² = ½ Dŝ ² .
Gesamtenergie : W = ½ Dŝ ² = ½ m (v^)² = ½ m w² ŝ ² .
Erzwungene Schwingungen
Bei f ca. f : ¼ Periode (bzw. 90° ; T/4 ; p/2) Phasenversch.
s(t) = ŝ sin(wt - p/2) . Für f >> f : Phasenversch. nähert sich p
Mechanische Wellen
Alle Teilchen können schwingen & sind durch Kräfte gekoppelt : Schwing. pflanzt sich von Teilchen zu Teilchen fort > mechanische Welle .
Querwellen (Transversalwellen) : Teilchen schwing. orthogonal zu Ausbreitungsrichtung . v mit der sie schwingen heißt Schnelle v . v mit der sich Schwing. fortpflanzt heißt Ausbreitungs-v c . Teilchen bleiben an ihrem Platz .
Längswellen (Longitudinalwellen) : Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung .
v bei Querstörungen (-wellen)
Harm. Querwellen
Wird Teilchen mit f zu harm. Schwing. angeregt , so wandert Welle während T = 1/f um l = c* T weiter . l heißt Wellenlänge . : c = l / T = l*f . Teilchen führen erzw. Schwing. aus . 1. Teilchen : sin-Schwing. , dann schwingt Teilchen an Stelle x um Δt = x/c genauso . Elongation : s(x;t) = ŝ sin(w(t - x/c)) = ŝ sin(w(t - x/(l*f))) .
Reflexion von Wellen
Festes Ende : Wellenberg als Wellental reflektiert & umgekehrt . > Phasensprung von 180°.
Freies Ende : Wellenberg als Wellenberg reflektiert . > kein Phasensprung .
Interferenz
2 Wellen am selben Ort : ungestörte Überlagerung : Elongationen & Schnellen addieren sich , das heißt Interferenz .
1.) Ausbreitung in gleicher Richtung , f gleich .
a) in Phase : ŝ = ŝ : konstruktive Interferenz .
b) Phasenwinkel 180° (gegenphasig) : ŝ = ŝ : destruktive I.
c) < Phi j < 180° : ŝ > ŝ > | ŝ
2.) Wellen begegnen sich , f gleich .
2 Wellen mit gleicher f & Amplitude: sie interferieren zu stehender Welle. (l =c* T)
Alle Teilchen schwingen in Phase , Amplitude vom Ort abh. Wellengleichung :
s(x;t) = [2ŝ sin((w* x)/c)]*sin(wt) . [ortsabh. Amplitude]*sin(wt) . Bei Reflex.
werden einfallende & reflektierte Welle zu einer stehenden Welle .
a) festes Ende : letztes Teilchen bleibt in Ruhe > Bewegungsknoten . Im Abstand
(n* l)/2 weitere Knoten . Zwischen 2 Knoten : Bewegungsbauch ( bei
((2n+1)* l
b) loses Ende : letztes Teilchen : Bewegungsbauch .
Konstruktion der res. Welle bei der Reflex. am festen Ende
Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des festen Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .
Konstruktion der res. Welle bei Reflex. am freien Ende
Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des freien Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .
Eigenschwingungen
Eingespanntes Gummiband ( feste Enden ) . Nur bei best. Anregungs-f ( Eigen-f ) : stehende Wellen . Niedrigste Eigen-f : genau halbe Wellenlänge paßt auf Träger .
Wellenlänge : l = ½ k*l k . Eigen-f : f k = k* f = c/l
f : Eigen-f zur Grundschwingung (/ 1. Harmonische)
f k : Eigen-f zur (k -1). Oberschwingung (/ k. Harmonische) .
Stehende Längswellen
Analog zu stehenden Querwellen ( selbe f & Amplitude ) .
Druckbäuche befinden sich an den Stellen , an denen Bewegungsknoten sind .
Abstand 2er Druckknoten ½ l
Längswellen oder Longitudinalwellen
Elongationsrichtung : Ausbreitungsrichtung . Teilchen schwingen um ursprüngl. Lage in x-Richtung . Sonst analog Querwellen . s Δ x (Auslenkung aus Ursprungslage).
Weiß : alte Lage , Schwarz : neue Lage , Pfeile : Entfernung von alter Lage :
Druckunterschiede wandern über Wellenträger . Teilchen schwingen nacheinander mit f in Längsrichtung . Fortschreitende Längswellen : Unterdruck / Überdruck an Stellen mit Elongation 0 ( bei max. Schnelle ) .
Bsp.: stehender Längswellen - Schallwellen
Korkmehl . best. f Ton bes. laut . : stehende Welle . 2 offene / geschlossene Enden : l = ½ k*l : Eigen-f . 1 offenes & 1 geschlossenes Ende : l = ¼ l*(2k -1) .
2 offene Enden :
1 offenes & 1 geschlossenes Ende :
2 geschlossene Enden :
Dopplereffekt
bewegte Schallquelle , ruhender Beobachter
v von Q kleiner Schallgeschwindigkeit c : v < c .
a) Spezialfall : v = 0 m/s b) v > 0 m/s
b) l = c/ f ; s = v *T = v/ f : Abstand zwischen 2 Wellenfronten verkürzt sich um s .
Beobachter vor Quelle / Beobachter hinter Quelle
l v h l v/f = c/f - v/f = (c - v)/f ; f v h = c l v h = c/((c - v)/f) = c* f/(c - v)
oder f v h = f/((c - v)/c) = f/(1 - v/c) .
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f z = 1/T z = (c+ v)*f/c = (1+v/c)*f . Analog B w : f w = (c- v)*f/c = (1-v/c)*f .
Machscher Kegel - Überschallknall
D.h. v ≥ c bewegte Quelle :
Aus der Skizze entnimmt man : sin a = l /s = (c*T)/(v *T) = c/v .
Elektrostatik
Elektrische Feldstärke
Geo. Überlegungen : sin φ = s/L ; tan φ = F el/G , da φ<<10° : sin φ ≈ tan φ :
F el/G = s/L : F el = G* s/L . F el ~ q : F el/q = E heißt Feldstärke .
Elektrische Ladung
W A > B ~ q >U W AB /q ist konst. & heißt Spannung zwischen A & B .
Spezialfall : Homogenes Feld
F & E konst. W AB = F s *s = F el d U AB = W AB /q = F el d/q = E* q* d/q = E*d : E = U/d . 1.) Geladene Kugel zwischen C , d wird vergrößert : a) Quelle weg , Q bleibt konst. : mit d nimmt U prop. zu : E konst. : Kugel bleibt gleich ausgelenkt : E = F el/q konst. b) Quelle bleibt , U konst. : Kugelausschlag geht zurück : E = U/d & E = F el/q konst. 2.) d konst. , U variiert : U nimmt ab : E = U/d nimmt ab Ausschlag geht zurück .
Im radialen Feld einer Punktladung
I entlang einer Feldlinie (Weg längs Kraft) , II beliebiger Weg . Arbeit entlang s mit Mittelpunkt -Q : W = 0 J : Kreisbahn : F orthogonal s . I F nicht konst . II zerlegt in Strecken entlang Feldlinien & Kreisstücken : zu jeder Wegstrecke Strecken auf I mit gleichem Kraftverlauf (= E) : Überführungsarbeit wegunabh. Jedes elektrostatische Feld aus Punktladungen zsmgesetzt : F = F res aus Punktladungen : Im elektrostatischen Feld : U = W/q zwischen 2 Punkten ist eindeutig best. (hängt nicht vom Weg ab). Wenn W > W Widerspruch zu EES : Auf I hin , auf II zurück : W = W - W : man würde Energie rausbekommen .
Potentiale im stromdurchflossenen Leiter
AB dünner Draht : gr. Widerstand R .Energie über Stöße an
Draht abgeg. Je weiter e-e‾ im Draht kommen , desto mehr W haben
sie abgeg. Strom fließt : Potential (R) im Leiter nimmt ab : Spannungsabfall :
Wieviel W gibt 1 C Ladung auf dieser Strecke an Draht ab . Spannungsabfall AX :
U[AX] AX = φ(X) = (AX)/(AB)*4V = 4V*R [AX]AX /R[ges] ges
U[AX] AX prop. zu R[AX] AX
Flächendichte der Ladung
Coulomb-Gesetz
Berechnung der Feldstärke in radialen Feldern
Coulomb-Gesetz
F = E*q = Q* q/(4p r² ε = k* Q* q/ r². Q = Punktladung , r = s.o. , q von Q ,
k=1/(4p (hoch N*m²/C².
Coulombpotential
U [AB]AB =W[AB] AB /q : W AB [AB] r[A]A r[B]B F(r) dr = Q q/(4p rA [A] rB [B] 1/ r² dr
=Q q/(4p )*[-1/r] rA [A] rB [B] = Q
q/(4p )*(1/r[A] A 1/r[B] B
NN ∞ (r[B] B > ∞) : Coulombpotential von
A mit r = r[A] A von Punktladung Q .
φ(r) = U A, = Q/(4p r) : W~1/r : W>0J ; Qq>0 : Abstoßung ; W < 0J ; Qq < 0 : Anziehung .
Die Kapazität
Hom.
Feld : E=U/d ; σ Q/A *E : Q *E*A *U*A/d : Q~U : C
= Q/U heißt Kapazität : C = ε *A/d . Isolator zwischen Platten :
Vergrößerung C um Dielektrizitätszahl ε[r] r C
= ε [r] r A/d
Schaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung : Reihenschaltung :
Q[i] i = C[i] i U ; i = 1,2,3 Wegen
Influenz : jede Platte
Ins. Quelle liefert Ladung : gleiche Ladung : jeder C gleich
Q = Q + Q + Q geladen : U[i] i = Q/C[i] i ; i =
1,2,3
= C *U + C *U + C *U (Spannungsabfall).
= (C + C + C )*U U = U + U + U
Ersatzkapazität : C = Q/U Ersatzkapazität : C = Q/U :
C
ers =
Q/U = C
+ C
+C C[ers] ers
= (1/C +1/C +1/C
(hoch
-
Die Isolatoren im E-Feld
Erklärung
ε[r] r
a) C von
Quelle getrennt : Isolator einschieben : U zwischen Platten sinkt . Durch
felderzeugende Ladungen +Q & -Q Elektronenhüllen gegenüber Atomkernen verschoben . An Platten
zugewandten Seiten entsteht Ladungsüberschuß , heißt Polarisationsladungen Q[p] p . Im Isolator entsteht "induziertes"
Gegenfeld ursprüngliches
E geschwächt : U= E*d zwischen Platten sinkt F
kleiner , W[überführ] überführ kleiner
b)
b) Quelle angeschlossen : zusätzlicher
Ladestrom fließt : neg. Ladungen von Quelle zusätzlich
von Q[p] p
angezogen . Quelle kann bei gleichem U mehr e-e
gegen gegenseitige Abstoßung auf neg. Platte transportieren . Analog pos. Platte . C nimmt mit
Dielektrikum zu .
Andere Betrachtungsweise
Für
Verschiebung von e-e‾ in Atomen ist W nötig :
a) von Quelle getrennt : Dielektrikum nimmt einen Teil der in E gespeicherten W auf : Feldstärke & U zwischen Platten nimmt ab .
b)
an Quelle angeschlossen : Quelle liefert mehr W , da Dielektrikum auch W
aufnimmt : mehr Ladung fließt auf Platten : C hat zugenommen : C = ε rr] A/d .
Bemerkung
Manche Dielektrika haben Atome , die
selbst el. Dipole sind : ε[r] r bes. hoch : durch Ausrichtung der
Dipole großes Gegenfeld : Überführungsarbeit kleiner , C = Q/U wird groß : man
sagt Orientierungspolarisation . Ausrichtung der Dipole : entgegen
thermischer Teilchenbewegung : ε[r] r temperaturabh.
Leiter im C
Statt Dielektrikum Metallplatte
(Dicke x) ohne Berühren : So viele Ladungen auf ihr werden influenziert , bis
Leiterinnere feldfrei . C steigt (nicht wegen ε[r] r sondern weil durch Platte quasi 2 Cs
vorhanden : Plattenabstände d & d : d d = d x .
C[ers] ers =
(1/C + 1/C (hoch
- = (d *A) +
d *A)) (hoch
-1)
*A/(d + d
*A/(d x) > *A/d .
Andere Betrachtungsweise
e-e‾ in Leitern praktisch ohne
Arbeitsaufwand verschiebbar : W um e-e‾ von 1er Platte zur anderen zu
transportieren mit Metallplatte geringer (wegen W[P,Q] P,Q = E*s, s = PQ)
um W[x] x = E* x : Spannung U[A,B] A,B = W[A,B] A,B /q = (W[d] d W[x] x)/q = E*(d x) nimmt ab .
Parallelschaltung von C 1 mit der Reihenschaltung C 2 & C 3 mit
C 1 = ε *A 1/d ; C 2 = ε r *A 2 /d 2 ;
C 3 = ε *A 2 /d 3 :
C ers = C 1 + (1/C 2 + 1/C 3) -1
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Feldenergie
El.
W el eines geladenen C :
Um q bei der nahezu konst. U von Platte 1 des C nach 2 zu schaffen ist W = U *q nötig . W ges [ges] ergibt sich als Fläche unter
Q-U-Kurve :
W = ½ QU = ½ CU² = Q² 2C) .
Wo ist diese Energie gespeichert
Platten
von C (ohne Quelle) auseinanderziehen : Q & E konst. aber felderfüllte Raum
nimmt zu : W = ½ CU² = r
r](E*d)²
*A/d = ½ ε [r] r
*A* d* E² : A*d = Volumen zwischen den Platten
: W = ½ ε [r]r *V*E² : W el [el] steckt in V .
Def.:
Energiedichte : [el] el
= W [el]el
/V = ½ ε r [r]*E²
Laden eines Kondensators
C
über R laden : Strom I(t) fließt , nach t ist Q(t) auf C : zwischen
Platten herrscht Spannung U [C]C (t) = Q(t)/C (Spannungsabfall an C) .
Nach Halbwertzeit T[H] H ist Q bzw. U entsprechend größer .
Über Q(t)- bzw. U(t)-Schaubild Exponentialkurven :
U C[C] (t)
= U (hoch t/TH[H]
Q C[C] (t)
= U *C*(1
t/TH(hoch
t/T[H]) , für Ladestrom gilt :
I(t)
= (Q )(t)
= I t/TH(hoch
t/T[H])
Entladen U C[C] (t)
= U t/TH(hoch t/T[H]) ; Q C[C] (t)
= U *C*
½ t/TH (hoch t/T[H]) , für Entladestrom gilt :
I(t) = 
Q (t)
= -Q(t)*ln/T[H]H
Da I(t)
= U(t)/R = -Q(t)*ln/T[H]H ist T[H]H = -R* ln*Q(t)/U(t) : T[H]H
= ln*R*C
E-e Rotor
Neg. Ionen laufen nach innen : erfahren im Magnetfeld Kraftkomponente im Uhrzeigersinn . Pos. Genauso laufen nur nach außen : Flüssigkeit rotiert im Uhrzeigersinn . (für pos. Teilchen 3-Finger-Regel mit re. Hand möglich).
Magnetische Flussdichte
Def.: Steht stromdurchflossener gerader Leiter senkrecht zu Magnetfeldlinien & erfährt mag. Kraft F so heißt B = F/(I*s) mag. Flussdichte (B Maß für Stärke des Magnetfeldes (B-Feld)) . Richtung aus (li.) 3-Finger-Regel .
Größe der Lorentzkraft
Mit
oben gilt : F = I*B*s ( F = Summe der Lorentzkräfte aller in s fließenden e-e‾
v
= s/t , I = Q/t = N* e-e‾/t : I = N*e*v/s : F = s*B*N*e*v/s =
N*e*v*B ( für alle e-e‾ in s) , Für 1 e-e‾ : F/N = F[L] L
= e* v* B ( v senkrecht zu B-Feldlinien : F L[L] v [s]s bzw. B .
Allg. F [L]L
= q* v* B
Geschwindigkeit der e-e‾ in stromdurchflossenen Leitern :
Bsp.: Silberdraht : ρ[Ag] Ag
= 10,3 g/cm³ , Atommasse : 108 u
I = N* v* e/s
= N* v* e* A/V
: 1 mol Ag wiegt 108 g
V = m/ρ[Ag] Ag
= 10,5 cm³
enthält 6*10²³ Atome . Jedes Metallatom gibt ca. 1 e-e‾
als Leitungselektron an Metall ab : 6*10²³ e-e‾
= N in 10,5 cm³ .
I = 1 A , Querschnittsfläche A = 1 mm² : v = I*V/(N* e* A) = 0,11 mm/s .
Halleffekt
F[el] el hält F[L] L das Kräftegleichgewicht (E-Feld
durch e-e‾ VerschiebungVerschiebung
F[L] L
e* v* B = e* U H /h = F[el]
el : U[H] H = h* v* B .
B-Feld bei Spulen
Durch
Messung : B ~ I*n/l = B/(I* n/l) = B* l /(I* n) = 1,257*10(hoch - T* m/A und heißt mag. Feldkonstante .
Mit Permeabilitätszahl μ[r] r erhöht sich B :
= B/( [r]r *I* n/l) = B* l r[r] *I* n) =
1,257*10 (hoch
-6) T* m/A . Nur
für schlanke Spulen l ≥ 5*Durchmesser
. Also B = [r]r *I* n/l
Das Erdmagnetfeld
Spule
mit Kompaß in O-W-Richtung , Spulenstrom so , dass Kompaß in N-O-Richtung : B-Feld : B =
1,257*10 (hoch -6) T* m/A * 0,16 A * 34/0,28m
(hoch -5) T ( falsch , da zu viel Eisen ( > Felder) in der Nähe).
Geladene Teilchen in Feldern
e-e‾ in Braunscher Röhre beschleunigt :
EES : W[el]
el = W[B] B : U*q = ½ mv² :
V v = √(2Ue/m) ( für U ≤ 10
kV , m = m *1/(√(1 - v²/c²))
m = Masse in Ruhe , für kleine v ist m = m
Bewegte e-e im (hom.) B-Feld
Versuchsvariante
: e-e‾ schräg zu B einschießen ,
Einschußwinkel φ .
v[s] s B bewirkt F[L] L : realisiert F[z] z . v[p] p || B : keine F[L] L : in B Richtung bewegen sich die e-e‾ gleichförmig mit v p [p] = cos φ *v . Überlagerte Kreisbewegung
wegen v[s] s
Schraubenlinie
Ganghöhe
: h = v [p]p *T , Umlaufdauer : T , Radius Kreisbahn
: r . Ansatz : F[L] L = F[z] z e* v [s]s B = m v [s]s ²/r : r = m v [s]s /(e* B) = m* v* sin φ /(e* B) ; T
= 2p r/v s [s] = 2p m v s[s] /e* B* v[s] s p m/(e* B) : unabh. von v , r , φ
. h = cos φ*v*2p m/(e* B) .
Geladene Teilchen in E-Feldern
v[x] x
√(2U [x]x *e/m) = x/t y-Richtung : a[y] y = U [y]y *e/(d* m) , (für 0 ≤ x ≤ l) :
v[y y =
a [y]y *t = U [y]y *t *e/(d* m) , y
= ½ a [y]y *t² = e* t² *U [y]y /(2d*m) = y(t) .
Bahnkurve : aus oben : t = x/(√(2U [x]x *e/m)) ; y = (U [y]y *e/(2d*m))*(x²/(2U [x]x *e/m) = x² *U [y]y /(4d*U [x]x) = y(x) (Parabelbahn) .
Ende des C Kondensators : x = l : y = l² U [y]y /(4d*U [x]x
Geladene Teilchen in E- & B-Feldern
Versuch
: e-e‾-Bahn nicht gerade : Fehler : Felder
nicht ganz homogen .
Wird hinter Wienfilter B-Feld erzeugt , so wird dort nach Masse sortiert : man nennt diese Anordnung Massenspektrograph
Weiteres Bsp.: Thomson :
Punkt gibt an : Masse / v durch Ort des Punktes , Ladung durch Richtung (o , u , li , re
Kreisbewegung in x-y-Ebene , Parabelbahn in y-z-Ebene .
Raumladung in Vakuumdioden
2) Stromkreis geschlossen , A besitzt 3)
zusätzlich weitere Quelle U[a] a
im Kreis .
dasselbe Potential wie K : 2 E-Felder a) U[a] a bei A pos. : E vergrößert , E
existieren : E
zwischen K & abgeschwächt : mehr e-e‾ zu A : I[a] a steigt .
e-e‾-Wolke
; E
zwischen A & U [a]a > best. Wert : I[a] a steigt nicht mehr :
e-e‾-Wolke
. E
bewirkt Strom I[a] a
von alle freigedampften e-e‾ sofort abgesaugt
A nach K . Sättigungsstromstärke (Sättigungsbereich)
b)
U[a] a bei A neg. : Stromstärke aus 2) bis
zu 0 A bei best. U[a] a (3V-10V : Temp. / Heizstromabh.) :
schnellsten e-e‾ erreichen A gerade nicht mehr :
hatten W[B] B = 3 eV :
Anlaufstrombereich
Fotoeffekt
Kennlinie:
Gasentladung
Unselbständige Gasentladung :
Gasmoleküle el. neutral .
Gasgefüllte Fotozelle :
Cs-Fotozelle gefüllt mit Edelgas (Ne)
& niedriger Druck : sonst wie Vakuumfotozelle (s.o.) . Kennlinien
vergleichen : unterhalb von 18 V : Raumladungs- & Sättigungsbereich gleich
; U[a] a > 18 V : Stromstärke I[U[a]] U a steigt stark an -Kennlinie :
Mehr Ladungsträger vorhanden . Unterhalb U[a] a = U[i] i = 18 V wegen Fotoeffekt e-e‾ aus
Cs- Schicht herausgelöst , im E-Feld
beschleunigt & von Quelle abgesaugt .
Für U[a] a > U[i] i erhalten Foto- e-e‾ aus E-Feld zusätzlich W[B] B = e* U[a] a > 18 V .
W[ges] ges der schnellsten e-e‾ so groß , dass sie Ne-Atome
ionisieren können :
Stoßionisation : pos. Ionen & zusätzliche freie e-e‾ : I[a] a nimmt zu .
U[a] a groß genug : zusätzlich freie e-e‾ können ebenfalls Ne-Atome ionisieren
: starke Stromverstärkung . Ionisierten Gasatome rekombinieren an K zu
neutralen Atomen .
W für Molekülionisation heißt
Ionisationsenergie / Ionisierungsenergie : Ne-Atome : W[i] i = 21 eV : schnellsten e-e‾ haben 3 eV (Fotoeffekt) : müssen
noch weitere 18 eV aus E-Feld aufnehmen .
Bemerkung :
Gas nicht stark verdünnt : freie e-e‾ schon nach kurzer Strecke gegen Atom
stoßen : noch nicht genügend W aus Feld aufgenommen : können Atome nicht
ionisieren .
Teil der Luft abpumpen : Gas fängt an zu
leuchten . A : rote Säule mit leuchtenden Schichten : zieht sich bei
stärkerem Abpumpen zurück.
Selbstständige Gasentladung
K
: bis zum Schluß (alle Luft draußen) violettes Leuchten ; anfangs von roter
Säule (bis diese verschwindet) durch Dunkelräume getrennt . Violettes Licht :
Ionen , die Moleküle ionisieren ; rotes Licht : e-e‾ , die Moleküle ionisieren : Ionen
haben mehr W durch größere Masse : Bei Ionisation wird e-e‾ des Atoms auf höhere Schale gehoben
, beim zurückfallen wird W in Form von Licht frei : Ionen können e-e‾ um 2 Schalen höher heben : mehr W
wird frei : violettes Leuchten = energiereicheres Leuchten .
Elektromagnetische Induktion
Bei Spule : U[ind
ind um Anzahl der Wicklungen vergrößert
Leiterschleife fällt in B-Feld
Leiterschleife wird im B-Feld gedreht
Weiterer Versuch :
Kabelschleife
im B-Feld zsmgezogen : A s[s] (senkrecht durchsetzte Fläche ; s.
Leiterschleife) ändert sich : U[ind] ind : U[ind] ind ~ A s[s] (=
Anderung der felddurchsetzten Fläche)
Def.:
Φ = B*A[s] s & heißt mag. Fluss ( durch Fläche A[s] s
Während Δt legt der Stab Δs = v ΔA
Induktionsgesetz
( 1. Formulierung)
[s]s * Δt zurück : ΔA[s]
s ändert sich : [s]
s = d* Δs =
d* v [s]s *Δt .
Damit
ist U[ind] ind = B* d* v[s] s = B* d* Δs/Δt = B*ΔA [s]s /Δt . Da B konst. : U[ind] ind = Δ(B*A [s]s)/Δt = ΔΦ/Δt .
Für belieb. v[s] s = lim(Δs/Δt) für Δt > 0s :
U[ind] ind = B* d*(lim(Δs/Δt) für Δt > 0s) = lim(ΔΦ/Δt)
für Δt > 0s = Φ
Induktionsgesetz
:
Andert sich Φ durch Spule mit Windungszahl n , so wird wegen F[L] L die U[ind] ind = n* Φ induziert .
Induktion durch Wirbelfelder ( 2. Formulierung)
1.) 2.) I = 100 mA
konst. : B konst.
: U
Induktion
ohne F
I 
>0 A/s: 
B >0
T/s :U[ind]
B [max] max
[ind] ind
= 0[L] L : In gr. Spule liegt kl. Spule , so
dass deren A[s] s B (gr. Spule) . Gr. Spule fließt gleichmäßig ansteigender I : B wird
gleichmäßig (linear) verändert .
Induktionsgesetz
:
U[ind ind = n* Φ : Andert sich Φ (wird
nach Produktregel abgeleitet : Φ = A [s]s *B
) durch
Spule mit Windungszahl n , so wird U[ind] ind induziert unabh. davon , ob sich A[s] s oder B ändert .
ind . freigesetzte /umgewandelte W :
W [el]el = UQ = U*I*t = U [ind]ind *I* t = B* v
[s]s *d* I* t
W[mech] mech = F* s (Kraft gegen F [mag]mag) = I* B* d* s = I* B* d* t* v[s] s EES gilt !
Lenzsches Gesetz
U[ind] ind stets so gepolt , das der von ihr
hervorgerufene Strom der Ursache von U[ind] ind entgegen wirkt (Folge des EES) .
a) Einschaltvorgang
b) Ausschaltvorgang
a) Stromkreis geschlossen : I steigt
kurzzeitig stark an : B >0 T/s ist sehr groß : Aluring
fliegt weg : In ihm wird U[ind] ind induziert : I in Ring : erzeugt
B-Feld : ist entgegengesetzt zu B-Feld in Eisenkern : Abstoßung : Induziertes
B-Feld so gerichtet , dass das
anwachsende B-Feld der Spule geschwächt wird . Erklärung : s.o.
b) Beim Ausschalten : I & B nehmen
stark ab : B < 0 T/s ist sehr groß : Aluring wird angezogen : In
ihm wird U[ind] ind induziert : I in Ring : erzeugt
B-Feld : ist gleichgerichtet zu B-Feld in Eisenkern : Anziehung : U[ind] ind so gepolt , dass I[ind] ind B-Feld erzeugt , dass das abnehmende B-Feld
aufrecht erhalten will . Erklärung :
s.o.
Flussänderung durch Anderung der Permeabilitätszahl μ[0]
Eisenstück
in stromdurchflossener Spule : B nimmt zu , Stromstärke
durch Spule während des Einführens kleiner. Erklärung : Spule selbst ist auch
Induktionsspule : In ihr wird U so induziert , dass I[ind] ind der Zunahme von B entgegen wirkt :
B-Feld der Spule allein wird kleiner : damit auch I : I
= U/R = (U
+ U [ind]ind)/R
= (U
- n* )/R
Beim
Herausziehen ist Φ < 0 (da B < 0) : U[ind] ind pos. (bzgl. U ) : I steigt ;
Beim Einführen ist Φ > 0 (da B > 0) : U[ind] ind neg. (bzgl. U ) : I fällt .
Endgültige Formulierung des Induktionsgesetzes
U[ind]
ind = - n*Φ (
n von Induktionsspule)
Selbstinduktion
Hinkender Strom
Selbstinduktion
Unterschied Induktion - Selbstinduktion :
Induktion : Spule induziert U[ind] ind in anderer Spule
Selbstinduktion
: Spule induziert U[ind] ind in sich selbst .
Eigeninduktivität einer schlanken Spule
U[ind] ind = -n*Φ
= B*A
= [r]r *I* A* n/l : U[ind]
ind = -n* [r]r I *A* n/l = -L* I ; L = [r]r *n² *A/l .
Allg.:
L = -U [ind]ind I heißt Eigeninduktivität . Abweichungen durch nicht
ideal schlanke Spulen : nicht homogen .
Einschaltvorgang
Einschalten : I(t) = U(t)/R = (U + U [ind]ind)/R = (U - L* I (t))/R : I (t) = -(R*I(t)-U )/L =(U R*I(t))/L ; t =0s : I (0s) =(U - R*I(0s))/L =U /L |U [ind]ind =
L* I (0s)=
U
Im
1. Augenblick ist U[ind]
ind = U
Induktivität einer belieb. Spule
Gemäß
L = U I (0s) läßt sich die Induktivität aus
dem Schaubild des Einschaltvorgangs (s.o.) bestimmen . I (0s) ist die Steigung der Kurve I(t)
zum Zeitpunkt t = 0s .
Den ohmschen Widerstand erhält man aus der Asymptote der I(∞)
, dort I (∞)=
0 A/s. I(∞) = U /R
: R = U /I(
Ausschaltvorgang
U
= 0 V I(t) = U/R = (U
+ U [ind]ind)/R
= -L* I /R
Energie des Magnetfeldes
P
= U(t)*I(t) = U [ind]ind (t)*I(t) = -L* I (t)*I(t). Bei kl. Zeitraum dt wird dW
= P(t)*dt umgewandelt : W = P(t) dt = I(t)* I (t) dt [Substitution] = -L I I dI
= -L [½ I²]I 0 ½ L*I
I = U /R ist ursprüngl. Stromstärke vor Ausschalten
Wechselspannung / -strom
Rotierende
Spule (s. Leiterschleife) in B-Feld : U[ind] ind = -n*Φ ; Φ(t) = B*A [s]s (t)
B* A* cos(wt) = B* A* cos(α(t)) (α = wt heißt Phasenwinkel) :
U[ind] (U^) sin(wt)
Rotierender Zeiger : Bei Projektion : U(t)
Zeigerdiagramm
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Versuch :
Wenn
f der Wechselspannung U genügend hoch : Lämpchen leuchtet
konst. hell . Dafür Scheitelwert von (U^) = 15 V nötig . Bei Gleichspannung
benötigt gleich hell leuchtendes Lämpchen Gleichspannung U = 10 V .
Def.
: Der Effektivwert einer U gibt diejenige U an , die nötig ist , um beim selben
R die gleiche mittlere Leistung hervorzubringen : U[eff] eff , analog : I[eff] eff
Effektivwerte sin-förmiger Wechselspannungen
Bei R = U/I : Momentanleistung : P(t) = U(t)*I(t) = U²(t)*1/R = I²(t)*R , mit
U(t) = Û sin(wt) : P(t) = Û ² sin ²(wt)*1/R = ½ (1 - cos(2wt))*Û ²/R .
Um P zu erhalten : P = ΔW/Δt : ΔW = 0s t P(t) dt
= (t (1/(2w)) sin(2wt ))*Û ²/(2R) ;
Δt = t 0s : P = Û ²/(2R) Û ² sin(2wt ) / (4w*R*t
t > ∞ : P = Û ²/(2R) = U²[eff] eff /R (s.o.) : U[eff]
eff
Spule im Wechselstromkreis
> (resultierender) Strom I(t) hinkt der angelegten U hinterher .
Herleitung der Stromstärke im L-Kreis
I
in Spule : I(t) =(U (t)+ U [ind]ind (t))/R =(U (t) L* I (t))/R : R*I(t)= U (t) - L* I (t) . Annahme : R = 0 Ω : L* I (t) = U (t) bzw. I (t) = U (t)/L : I(t) = ∫ I (t)dt = ∫U (t)/L dt = Û/L ∫ sin(wt) dt = - cos
(wt)*Û/(L* w) + c ( c = Gleich-/ Grundstrom)
.
Erg.: I(t) ~ -cos(wt) = sin(wt - 90°) : I hinkt angelegtem U um 90° hinterher (bei R = 0 Ω) Bem.: c ist immer 0 A sobald R nicht exakt 0 Ω .
Def.: induktiver Blindwiderstand X[L] L (I^)i
= Û/(Û/w* L) = w* L
Blind- und Wirkwiderstand zugleich : L-R-Kreis
X[L] L & R in Reihe geschaltete
Widerstände : I(t) ist überall gleich . Spannungsabfall am R : U [R]R (t) = R*I(t) ; Spannungsabfall am X[L] L : U [L]L (t) = X [L]L*I(t) U[R] R
ist in Phase mit I(t) ; U[L] L
eilt I(t) um 90° voraus .
Zeigerdiagramm :
Beim
Drehen : Û erreicht vor (I^)i Max. : hinterherhinken bedeutet :
die entsprechende Kurve liegt weiter re. (wenn U[R] R groß : U[L] L klein) .
[L] L [R] R = R²I² + (w* L)² I² : Û = (I^)i *√(R² + (w* L)²) Gesamt- / Scheinwiderstand : Z
= (R² + X [L]L
φ zwischen angelegtem U & I
: tanφ = Û [L]L [R] R
= X [L]L /R
= w* L/R
Ist
U(t) = Û sin(wt) so fließt I(t) = (I^ i sin(wt
- φ)
Kondensator im Wechselstromkreis
Stromstärke im C-Kreis
Gesamtspannung : U(t) = U (t) + U [C]C (t) = I(t)*R ; mit R = 0 Ω
& U [C]C (t) = -Q(t)/C :
Q(t)/C = U (t) : I(t) = Q (t) = C*U (t) ; mit U (t) = Û sin(wt) :
I(t) =
C*Û *w* cos(wt) . Def.: Kapazitive Widerstand X[C] C I(^)i
= Û/(C*Û *w) = 1 w* C) Bem.1.: bei sin-förmigen U : I[eff] eff (I^)i
analog U[eff] eff : X[C] C = U [eff]eff /I[eff] eff = 1/(w* C) . X[C] C ist Blindwiderstand : keine W[el] el in innere W umgewandelt .
Der R-C-Kreis
Scheinwiderstand
Z = √(R² + X [C]C (Ii
Tantan [C]C [R] R = X [C]C /R = 1/(w* C* R) (φ
hier neg.) C
hinkt I(t) um 90° hinterher
Der R-C-L-Kreis
Z = Û/ Ii (R² + (X[L] L
- X [C]C = √(R² + (w* L - 1/(w*C))².
Resonanz
Bei best. f (bzw. w ) : I(t) wird max. : Resonanz(-f) :
Bedingungen äquivalent
zueinander : wenn 1 vorliegt , liegen auch die anderen vor I
max. Z min. , d.h. Z
= R [R] R [L] L C[L] [L] L & Û[C] C max. ;
X[L] L = X[C] C w *L =
1/(w *C) w = √(1/(L*C))
f = √(1/(L*C))*1/(2p
Leistung im Wechselstromkreis
X[L,C] L
, C : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (-) (I^)i cos(wt)
R
: U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (I^)i sin(wt)
P(t) = U(t)*I(t) : Momentanleistung
a) R : P(t) = I²(t)*R ≥ 0 W
b) X[C] C : P(t) = - (U sin(wt)* (I^)i cos(wt) : Laden : P(t) > 0 W ;
Entladen : P(t) < 0 W : C liefert W an die Quelle : In 1 Periode ist
Gesamtleistung = 0 W .
c) X[L] L : Analog zu b) (ohne - ; W[el] el wird W[mag mag wird W[el] el
Def.: 1.) mittlere Leistung P‾ heißt Wirkleistung (W der Quelle pro Sekunde) .
2.) ohne R : P‾ = 0 W ; der dabei fließende Strom ist ein Blindstrom
Wirkleistung bei einer Siebkette R-C-L-Glied
U(t)
= (U^) sin(wt) = (U^) sin( ) ; I(t) = (I^)i sin(wt (I^)i sin( ) ; P(t) = (U^) (I^)i sin(wt)sin(wt P(t)
über Zeit integrieren liefert W
Einschub : sin *sin = ½ (cos( ) - cos(
Ferner
gilt : (U^) (I^)i *U [eff]eff *I [eff]eff = 2*U [eff]eff *I[eff]
eff
P(t) = 2*U [eff]eff *I eff eff]*½(cos
-
cos(2wt - U [eff]eff *I [eff]eff *cos
Coscos(2wt - φ) hebt sich über 1
Periode gemittelt auf , cos φ heißt Leistungsfaktor .
Zeigerdiagramm :
Transformatoren
Unbelasteter Trafo: Belasteter Trafo :
Der ideale Trafo
Def.: idealer Trafo : R der Primärspule (PS) = 0 Ω , von PS erzeigte Fluss Φ durchsetzt Sekundärspule (SS) vollständig (gut geschlossene Eisenkerne
Der unbelastete Trafo
Primärseite : Sekundärseite :
R = 0 Ω : I[Prim] Prim = Blindstrom , U Induktionsgesetz
: Durch Flussänderung
& I[Prim] Prim sind 90° phasenverschoben . Φ : wird in SS U (t) = -n (t)
Verbraucht im Leerlauf keine W . induziert . Da Trafo unbelastet : fließt
X[L] L sehr gr. : I[Prim] Prim sehr kl. kein Strom im Sekundärkreis : Fluß
Φ
Durch Selbstinduktion : wird nicht verändert .
U [ind]ind (t) = -n (t) = - U (t) .
Gleichsetzen der Flussänderung :
U (t)/U (t) = -n /n = - ü , für Effektivwerte : U eff[2,eff] /U[1,eff]
1, eff = n /n
Der belastete Trafo
An SS Wirkwiderstand R legen :
Wirkstrom I = U /R : entnommenes P‾ stammt von
PS (EES) : dort zusätzlich zum Blindstrom I[Blind,1] 1, blind (mit Φ = 90°) ein Wirkstrom I (mit Φ = 0°) : P‾ = I 2 , eff[2,eff] *U[2,eff] 2 , eff = I 1, eff[1,eff] *U ,eff] 1, eff
I eff[2,eff] /I[1,eff] 1, eff = U 1, eff[1,eff] /U[2,eff] 2 , eff = n /n
Bem.: Wegen I[Blind,1] 1, blind ist I[1,ges] 1, ges > ü* I Bei
guten Trafos : I[Blind,1] blind
≈ 0A , da X[L] L
gr oß
; bei realen Trafos , wegen
R[Prim] Prim
≠ 0 Ω , noch sehr kl. Wirkstrom in PS : verfälscht obere Gleichung
Erg.: Spannungen : U [2,eff]2 , eff /U[1,eff] 1, eff = n /n (U richtet sich nach U
Wirkströme : I [2,eff]2 , eff /I[1,eff] 1, eff = n /n (I richtet sich nach I
Anwendungen : n <<n
, sehr kl. R[Sek]
Sek : sehr hoher
I
: Schweißtrafo ;
Nn >>n :
U >>U
: Hochspannungstrafo U wegen auftretender Leistung lebensgefährlich
Bei Eisenkernen aus einem Stück : Vergrößerung I : es treten Wirbelströme auf , die Energie aufnehmen : Trafokerne aus Eisenplättchen aufgebaut , die gegeneinander isoliert sind .
Andere Erklärung : a) unbelasteter Trafo : U (t) = (U^) sin(wt) :
PS : I (t) = (I^)i [1,blind] blind cos(wt) (Blindstrom) : verursacht
Fluss :
SS : U (t) =
- (U sin(wt)
, I = 0 A
.
b) belasteter Trafo : SS + R : SS : U (t) = - (U sin(wt) , I 2 , w [2,w](t) = -(I^)i w[2,w] sin(wt) (Wirkstrom) : zusätzlicher
Fluss : U [1,ind]1, ind (t) = -(U^ ind [ind]cos(wt) :
I
1, w[1,w] (t) = (I^)i w[1,w] sin(wt) .
[1,prim]
besitzt φ < 90° zur
angelegten Spannung U
.
Wirkleistung : P‾ = (U^)Û
1 [1]*
(I^)i [1] cos φ
bzw. P‾ = (U^)Û
[1] * (I^)i
[1,w]1, w
:
Wirkströme : (I^)i
[2,w]2
, w /(I^) i [1,w]
1, w = (U^)Û
[1] /(U^)Û [2]
= n /n
Transport elektrischer Energie
Überlandleitungen sind Hochspannungen :
Reihenschaltung von Lampe (R = 100 Ω)
& R = 1 kΩ (R der Leitungen) : An Leitungen fällt daher Großteil
(90%) der Spannung ab : 90% der el. W bzw. Leistung in Leitungen verbraten : W
/ P , die an Lampe abfällt reicht nicht mehr um sie zum Brennen zu bringen .
Energietransport mit Hochspannungs- Hochstromtrafos :
T Lampe brennt
Erklärung : P[Lampe] Lampe = 0,16 W entnommen aus Trafos , über
Leitungen transportiert. Dort auf U = 120 V hochtransformiert : nur Stromstärke
von I = P/U = 0,0013 A nötig .
Dieses I bewirkt , dass in Zuleitungen nur geringe Spannung abfällt :
P[Leitung] Leitung = R*I² = 0,0018 W wird in Leitungen
verbraten , ca. 1% der Leistung (s.o.).
Bem.: P = U*I = R*I² = U²/R , obige Daten einsetzen : P = 19,6 W falsch
Schaltung besteht aus R und X[L] L der Trafos : R = U/I gilt nicht ,
ist vielmehr Reihenschaltung : dort für Spannungsabfall an Widerständen : U =
R*I .
Differentialgleichungen
Bsp.: Harmonische mechanische Schwingung
Lin.
Kraftgesetz : F = -D*s (allg.: F[res]
res = F = m*a
Beschleunigung
: a(t) = F(t)/m = -s(t)*D/m , mit a = v & v = s : a = s :
s(t) = -s(t)*D/m = -k*s(t) , k = D/m (DGL einer Funktion) .
Lsg. der DGL :
Lsg.ansatz raten : s(t) = ŝ
sin(wt + φ) : s (t) = ŝ* w* cos(wt + φ) : s (t) =
-ŝ *w² sin(wt + φ) = -w² * s(t) ; Vergleich mit DGL : w = √ k = √(D/m) : Für harm. Schwinger mit Richtgröße D & Masse m gibt es also ∞-viele
Lsgfunktionen (ŝ , φ unbestimmt) : Bei konkreten Schwing. Anfangsbed. (s(0s) ; v(0s)) bekannt können ŝ & φ bestimmt werden .
Bsp. ungedämpftes Pendel
3.)
Anfangsbed. s (t) = -w² *s(t) ; w = √(g/L) = 3,13 1/s , ŝ = 5 cm ,
s(0s) = 3 cm : s(0s) = 3 cm = 5 cm*sin(3,13*0s + ) : sin(
Lsgfunktion : s(t) = 5 cm * sin(3,13 Hz * t + 0,64) : Winkel im Bogenmaß , da 3,13 Hz auch im "Rad"
Elektromagnetische Schwingungen
In diesem Schwingkreis wird W el[el] (t) = ½ CU²(t) in W mag[mag] (t) = ½ L*I²(t) umgewandelt &
umgekehrt . I(t) & U(t) haben Phasenwinkel von 90°. In R wird Teil der W in innere W umgewandelt : Schwingung gedämpft .
DGL der ungedämpften el.mag. Schwingung (R = 0
Selbstinduktionsspannung
: U [L]L (t)
= -L* I (t)
= U [C]C (t)
= Q(t)/C -L* I (t)
= Q(t)/C
mit
I(t) = Q (t) : -L*
Q (t)
= Q(t)*1/C Q (t) = -Q(t)*1/(L*C) DGL .
Thomsonsche Schwingungsgleichung
T = 2p (L*C) . Standard Anfangsbed.: t = 0s : C max. geladen :
Q [C]C (t (Q^)
, Q C[C] (t (Q sin(wt (Q^) : sin φ p Erg.:
Q(t) = (Q^) cos(wt) = (Q^) sin(wt
+ p Ladung auf C ;
U(t) = Q(t)/C = cos(wt)*(Q^) /C
= (U^) cos(wt) Spannung am C ;
I(t)
= Q (t)
= -(Q^) *w* sin (wt); (I^)i (Q^) *w
= (U *C/√(L*C)
= (U *√(C/L)
.
Energiebetrachtung im ungedämpften Schwingkreis
Q(t)=(Q^) sin(wt + φ ) ; U(t)= sin(wt + φ (Q^) /C ; I(t)=(Q^) *w* cos(wt + φ ) (s.o.).
Gesamtenergie : W(t)
= W[el]
el + W[mag]
mag = ½ CU²(t) + ½ L*I²(t)
= ½ C((Q^) /C)² sin ²(wt +
) + ½
L(Q^) ² w² cos ²(wt +
(Q^) ²/(C)*sin ²(wt +
L(Q^) L*C)*cos ²(wt +
(Q^) ²/(C)*(sin ²( wt + ) +
cos ²(wt +
(Q^) ²/C =
½ C (U ² = ½ L (I^)i
Der gedämpfte Schwingkreis
Um gedämpften Schwingkreis aufrechtzuerhalten muß zu geeigneten Zeitpunkten W eingespeist werden .
. Manuell
2. Transistor- / Meißnerschaltung
Schwingkreis geliefert : Schwingung ist ungedämpft .
Funktion des Transistors :
Arbeitspunkt :
Erzwungene Schwingungen
Beob.:
Resonanz tritt auf (analog zu mech. Schwing.) : Amplitude von (U^) [C]C ist bei f max. Für Phasenwinkel zwischen
anregender Schwing. (Spannung am Frequenzgenerator) & erzw. Schwing. (U [C]C) gilt :
Hochfrequente Schwingungen
Anwendungen
Hochfrequenzherd-Mikrowellenherd ; Hochfrequenz-Induktionsofen zum Schmelzen von Metallen ; Radio ; Fernsehen , .
Nachweis hochfrequenter Schwingungen
Oszilloskop (bis zu wenigen MHz)
Frequenzzähler (ca. 1 MHz)
Mit einer durch ein Lämpchen kurzgeschlossenen Spule
Mit abstimmbarem Resonanzkreis (L , regelbarem C , Lämpchen) ; I in diesem Kreis kann auch mit Diode & Strom-Messgerät nachgewiesen werden : bei induktiver Kopplung führt dieser Schwingkreis erzw. Schwing. aus : Resonanz .
Erzeugung hochfrequenter Schwingungen
Höhere Eigen-f durch Verringerung der Induktivität & Kapazität : Windungszahl n reduzieren & Kapazität durch Verkleinerung A & Vergrößerung d verringern . Extremfall : gerades Drahtstück als Schwingkreis : Hertzscher Dipol (mit eingebautem Lämpchen & bei geeigneter Länge kann er auch als Resonanzkreis (s.o. 4.) verwendet werden) .
Hertzscher Dipol
Verschiedene Längen : in die Nähe eines Hochfrequenzgenerators mit induktiv gekoppelten Hertzschen Dipol der Länge l : Bei best. Länge leuchtet das Lämpchen am hellsten : Eigen-f Dipol & f Frequenzgenerator stimmen überein . Wenn Lämpchen beim selben Dipol nicht in der Mitte , so leuchtet es schwächer .
Erkl.: e-e‾ im Draht durch U[ind] ind in der 1. ¼-Periode einer Schwing.
zu einem Drahtende hin beschl. C = Drahtenden geladen : anwachsendes E-Feld :
wirkt
e-e‾-Bewegung entgegen . Da kein hom.
E-Feld : e-e‾ versch. stark abgebremst : Enden
bes. stark , Mitte wenig . Enden : I = 0 A , Mitte I max. : Bei auf Resonanz
eingestelltem Dipol I in Mitte bes. groß . Amplitude E an Enden max. , Mitte
min.
Nachweis der el. Feldstärke längs eines Hertzschen Dipols
Durch Glimmlampe (Zünd-U liegt an) : leuchtet an den Enden am hellsten .
Nahfeld um einen Hertzschen Dipol
Im HD fließt Wechselstrom : erzeugt (Oersted) sich änderndes (starkes) B-Feld (Ursache von I : el. Quellenfeld zwischen getrennten Ladungen) .
Ferner entsteht ein sich periodisch änderndes el. Feld : B- & E-Feld haben Phasendifferenz von 90° .
E- B-Feld um einen Hertzschen Dipol während einer Periode
Herleitung der E-Feldstärke um einen Hertzschen Dipol
E ist max. , wenn Ladungen vollständig getrennt (I = 0 A)
Messen : E ~ 1/r keinesfalls E ~ 1/r³ . Annahme , dass es sich um elektro-/ magnetostatischen Effekt handelt (Coulomb-Gesetz) reicht nicht zur Erklärung aus : Elektrostatik erklärt das Nahfeld : Weiterer Effekt vorhanden , der das Fernfeld beschreiben kann :
Elektromagnetische Wellen
Sender vor Metallplatte : hinter Platte kein Signal mehr messbar (Abschirmung).
Messen E-Feld zwischen Sender und Metallwand : Max. & Min. an festen Stellen : Dort stehende Welle (Interferenz) . Bei Reflexion erfährt E Phasensprung von 180° , B wird ohne Phasensprung reflektiert : an Wand : E-Knoten ("festes Ende") &
B-Bauch ("loses Ende") . Fernfeld : E
& B orthogonal aber in Phase & bilden folgendes Dreibein :
Eigenfrequenzen beim Dipol
An
Enden I = 0 A : B = 0 T : Knoten des B-Feldes , entsprechend E-Bauch : Dipol =
Wellenträger mit stehenden el.mag. Wellen , wenn er mit geeigneten Eigen-f f[k] k angeregt wird . Bestimmung
der Eigen-f : Bed.: d (Dipollänge) = k*l k[k]
l[k] k
= 2d/k , k = 1;2; : f[k] k = c/l[k] k = c* k/(2d) .
Ausbreitungsgeschwindigkeit el.mag. Wellen
Annahme : Bei sich ausbreitenden Welle ist W el]
el = W[mag]
mag
El. Energiedichte : el
el] [r]r *E² mag. Energiedichte :
mag[mag] [r]r B².
Da (Induktionsgesetz)
: E = B* v r
[r]*B² v²
= ½ [r]r B²
v
= 1/√(μ r
[r] [r]r = Ausbreitungsgeschw. (des B-Feldes
d.h.) der Welle . Im Vakuum (Luft) :
ε[r] r [r] r c
(hoch 8) = Lichtgeschw.
In Materialien ist i. A. μ[r] r = 1 : Ausbreitungsgeschw. in
Materialien :
c = c [r] r ≤ c
DGL für el.mag. Wellen
Maxwellgleichungen : B'' = B˙˙ *1/c² , analog E : Lsg.: B = (B^)sin(kx - wt + φ) , analog E : B & E sind im Fernfeld in Phase .
Dipol Eigenfrequenzen in Materie
Empfangsdipol
in Materie : für optimalen Empfang , bei fester f : Länge des Dipols so
eingestellt werden , dass gilt : d = k*l k[k] /2 = k* c/(2f) . In Materie
verringert sich c , da f gleichbleibt verringert sich auch l . Eigen-f : f[k] k = k* c/(2d) , k є (ohne 0)
Doppelspalt
Spalten des Doppelspalts stellen Sender dar , gleiche f & in Phase schwingen (kohärent) . Treffen 2 Wellen aus diesen Sendern am Empfänger an , so interferieren sie . Sofern a>>d : Wellen-Strahlen parallel .
d heißt Gangunterschied & ist = Differenz der Entfernungen von Spalt 1 zum Empfänger und Spalt 2 zum Empfänger .
Konstruktive Interferenz (Max. am Empfänger) : muss d = k*l , k є Z ; max. d = d :
d ≤ d . Destruktive Interferenz (Min. am Empfänger) : d l (2k - 1)/2 , k є Z (ohne 0).
Aus Skizze : sin d/d ; tan = x/a : Bsp.: 1. Max. : d = l : sin l /d ;
tan = x /a . Unterer Strahl braucht Vorsprung vor Oberem wenn beide in Phase an E ankommen sollen (Max.) : bei gegenphasiger Schwingung ist Max.bed. = Min. bed. (s.o.) ; bei anderem Phasenwinkel φ : φ (im Bogenmaß) = 2p d l φ° = 360° *d l ; Anteil an der Periodendauer T : t = T *d l
Welleneigenschaften mit Mikrowellen
Mikrowellen sind ebenfalls el.mag. Wellen mit Wellenlängen im cm-Bereich und f im Gigahertz-Bereich .
I. Strahlenförmige Mikrowellen (Sendecharakteristik)
Reflexion an einer Metallwand
a) Welle
trifft senkrecht auf Metallplatte : Interferenz :
stehende Welle : Abstand zwischen 6 Knoten ( l /2) : 8 cm (nicht
von Wand aus messen Wellenlänge = 3,2 cm : bei Sende-f von 9,35 GHz : c = l *f = 3*10 (hoch 8) m/s .
b) Welle trifft unter Winkel α auf Platte : wird unter Winkel α reflektiert : Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Reflexionswinkel) gilt auch bei el.mag. Wellen
Polarisationsebene (Welle auf Gitter)
Linear polarisierte Welle trifft (senkrecht) auf Metallgitter :
a) Gitterstäbe sind parallel zu E (= vertikal) : Empfänger registriert hinter Gitter kein Signal mehr , vor Gitter aber steh. Welle .
b) Gitterstäbe senkrecht zu E : registriert weiterhin Signal .
c) Gitterstäbe um 0°< α < 90° gegenüber Polarisationsebene gedreht : entsprechend schwächerer Empfang .
Erklärungen
Parallel zu E stehenden Gitterstäbe =
Hertzsche Dipole : Eigen-f f[G] G << Sende-f f[S] S da ihre Länge D erheblich größer als
ausgestrahlte Wellenlänge ist : Oberschwingungen werden angeregt : Bed. D = k*l /2 automatisch erfüllt : für
hohe k verteilt sich Fehler zwischen l [Resonanz] Reson anz
und l auf viele Wellenlängen : l
(und damit f) liegt immer noch im Resonanzbereich . Schwingungen zu denen Gitterstäbe
angeregt wurden sind um nahezu 180° gegenüber anregender Schwingung
phasenverschoben (vgl. erzw. Schwing.) . Welle[Gitter] Gitter in Empfängerrichtung löscht
ursprüngliche Welle aus , in Sendedipolrichtung Interferenz mit ursprünglicher
Welle : steh. Welle . Metallwand ist auf Gitter mit sehr nahen Stäben :
Reflexion . An Wand E-Knoten und B-Bauch , E macht Phasensprung von 180° , B
ohne Phasensprung reflektiert , bilden immer folgendes Dreibein :
Steht Gitter verdreht : Abschwächung Empfang : Zerlegung der einfallenden Welle in Komponente parallel (Reflexion) zu Gitterstäben und Komponente senkrecht (Durchlass) dazu . Wenn Empfangsdiode ebenfalls gedreht wird (senkrecht zu gedrehten Gitterstäben steht) : max. Signal .
Beugung am Spalt
Brechung
Übergang : Luft - Sand
sin α/sin β = c /c[Sand]
Sand [r] r
Def.:
sin α/sin β = c /c Medium[Medium] = n heißt Brechzahl des Mediums ,
Gleichung heißt Brechungsgesetz . Es gilt c /c[Medium]
Medium [r] r
= n
Allg.: Beim Übergang von Medium 1 nach Medium 2 gilt :
sin
α /sin
β
= c /c r, 2[r,2] [r,1]r,1)
= n /n
Huygens'sches Prinzip
1. Punktförmiger Erreger 2.
Geradliniger Erreger
Def.: Wellenbeschreibung mittels
Wellenfronten oder gleichwertig mittels Wellenstrahlen . Welle trifft auf Spalt
: Hinter Spalt entsteht Elementarwelle : Spalt verhält sich wie punktförmiger
Wellenerreger .
Huygens : 1. Jeder Pkt einer Wellenfront kann als Ausgangspkt einer
Elementarwelle angesehen werden .
2. Jede Wellenfront ist die Einhüllende von Elementarwellen
Anwendungen des Huygens'schen Prinzips
1.
Wellenausbreitung
2. Beugung am Spalt
Der Spalt ist Ausgangspkt einer Elementarwelle , da es keine weiteren Ausgangspkte gibt , ist diese gleichzeitig die (auch beobachtete) Wellenfront .
3. Reflexion
4. Brechung
Optik
Brechung bei Licht
Lichtstrahl trifft auf halbzylinderförmigen Plexiglaskörper . Beim Messen des Einfallswinkels α und Ausfallwinkels β zeigt sich : Brechungsgesetz gilt für Licht :
Lichtgeschwindigkeit
Ausbreitungsgeschwindigkeit in Medien
5
cm dicker Plexiglaskörper wird in den Lichtweg gebracht : in Plexiglas
Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner : Verschiebung des Oszi-Bildes : Licht
braucht länger : ≈ 10 mm 52 ns / 600 = Δt = t[Glas] Glas - t[Luft] Luft (hoch - s Wobei t[Luft] Luft = Zeit die Licht für a = 5 cm in
Luft benötigt und t[Glas] Glas = Zeit die Licht für a in Glas
benötigt) : Δt = t[Glas] Glas - t[Luft] Luft = a/c[Glas] Glas - a/c c[Glas] Glas = c *a/(a+ c Δt) = 2,0*10(hoch m/s : n[Glas] Glas = c /c[Glas] Glas
Wiederholung obigen Versuchs mit Wasser :
Daten : a = 1
m ; t =
6,6*10(hoch -7) s/600
= 1,1*10(hoch -9)
s :
c[w] w = c *a/(a+ c t) =
2,3*10(hoch 8)
m/s : n[w] w = c /c[w] w
Interferenz bei Licht
Abstand
des k-ten Max. vom k+1-ten (benachbarte Max. , α klein) : Δd = d k +1[k+1] -d[k] k = (k+1) l* a / g - k* l* a/g = l* a(k+1-k)/g = l* a/g . Anzahl der Max (! Keine
kleinen Winkel α) : d ≤ g T k* l ≤ g .
Dispersion
Die versch. Lichtfarben sind in Medien unterschiedlich schnell T Dispersion .
Bsp.: blaues Licht ist in Glas langsamer als rotes Licht und wird deshalb auch stärker gebrochen .
Weißes Licht am Doppelspalt , Wellenlängen
Beob.: Mehrere sich zum Teil überlappende Spektren . In der Mitte (0. Max.) weiß , im 1. Spektrum (1. Max.) von blau nach rot . Benutzt man Filter , so erkennt man die entsprechenden Farben an den Stellen , an denen vorher diese Farben waren : Es bilden sich "Zebrastreifen" T Man sieht die aufeinander folgenden Max. : durch dunkle Stellen unterteilt .
Wellenlänge von blauem Licht ist kleiner als von rotem .
Kohärenz
Interferenz hat etwas mit der Größe der Lichtquelle zu tun .
A liegt auf der optischen Achse , B liege so weit von A entfernt , dass die Spalte des Doppelspalts gegenphasig senden (= Gangunterschied der Strahlen von B sei l /2) : s = B . Folgerung : Die Max. von B liegen an den Min. von A und umgekehrt : keine Interferenz sichtbar .
Strahlensatz
Ss/b = ½ Δ d/a mit Δ d = a *l /g = Abstand benachbarter Maxima.
S s = ½ a* b* l /a* g = l* b/2g ≈ l /2ε sofern ε klein T ε ≈ sin ε ≈
g/b : bis hier her keine Interferenz sichtbar (Wahl s = B
Damit Interferenz sichtbar ist muß Größe der Quelle l << s sein : Quelle muß kleiner sein als B aus obiger Gleichung .
T Kohärenzbedingung : l* ε << s* ε = l /2 bzw.: l* ε << l
Spezielle kohärente Lichtquelle : der Laser
Gleich angeregte Atome werden zur Emission von Licht verwendet . Lichtemission ist nicht zufällig sondern durch Lichtwelle gleicher Frequenz (Wellenlänge) ausgelöst : stimulierte Emission .
Dabei ist die vom Atom ausgesandte Welle (Sekundärwelle) mit der auslösenden Primärwelle in Phase : Verstärkung (Amplification) .
He- Ne- Laser : ständige Anregung von He- Atomen durch Gasentladung : regen durch Stöße wieder Ne- Atome an : diese senden ihr Licht erst mit einiger Verspätung aus : durch diese Zeitspanne Erzeugung einer großen Zahl angeregter Ne- Atome : durch Stimulation : Aussendung ihrer Strahlung .
Eine vom Ne- Atom zufällig ausgesandte Welle , die senkrecht auf einen Spiegel trifft , wird reflektiert : regt auf Weg durch Gasgemisch viele Ne- Atome zur phasengleichen Lichtemission an : Verstärkung Lichtstrahl & Reflexion zwischen Spiegeln . Wenn Spiegelabstand = Vielfaches der Wellenlänge : stehende Welle mit sehr großer Amplitude :
Durch den teildurchlässigen Spiegel verläßt dabei intensives Licht einheitlicher Wellenlänge und Richtung den Laser : ist daher = kohärente Lichtquelle : erzeugt : schmale parallele Lichtbündel einer Frequenz .
Aufbau :
Optisches Gitter
Optisches Gitter = mehrere Spalte mit gleicher Breite & Abstand : mit Laserstrahl beleuchtet : Interferenzmuster : absolute Maxima heller , weiter voneinander entfernt & schärfer als beim Doppelspalt .
Bed.: für absolute Maxima (= alle Strahlen aus allen Gitterstäben interferieren konstruktiv) : d = k* l
Bem.: Der Spaltabstand g beim Gitter heißt auch Gitterkonstante . Jedes Atom/ Molekül hat spezifische Spektrallinien .
Messversuch : Hg- Dampf- Lampe (Quecksilber) :
Daten : Beim Gitter (fast) nie kleine Winkel α , Gitter besitzt 6000 Striche pro cm :
g = 1 cm/6000 = 1,67* 10(hoch -6) m , a = 34,2 cm , Messtabelle :
gemessen : Bsp.:
d - d ; d ; aus tan α T l = sin α *g (in nm) = 593 - 601 (Mittelwert : 597) ; Farbe : orange ; angeg. l auf Lampe = . g neu berechnet : d -d = 221 cm ± ½% ; a = 2,65 m ± ½% (Fehler
→ g = 1,64* 10(hoch -6) m + 2% zur Angabe von 1,67* 10(hoch -6) m .
schräg auf 's Gitter draufstrahlen : s. auch Buch S. 236 Nr.: 13 : g des ursprünglichen Gitter 's wird kleiner , Spalte werden kleiner , Spalte senden leicht - stark phasenverschobene Wellen aus (kommt auf Schrägstellung (φ) an wie stark).
Beugung am (Einzel-) Spalt
Laserstrahl erzeugt auf Schirm einen scharfen Fleck . Strahl durch Spalt eingeschränkt : Fleck wird größer & von Dunkelstellen unterbrochen → beleuchteter Spalt ist in jedem Pkt Ausgangspunkt einer Elementarwelle → können interferieren . Interferenzmuster am Einzelspalt : konstruktive Interferenz aller (paralleler) Strahlen nur für α = 0° : Interferenzmuster besitzt nur ein Hauptmaximum in der Mitte → durch 2 Minima begrenzt .
Minima- Bedingung beim Spalt
Für
Minima muss jeder Strahl Partner finden um destruktiv zu interferieren (unter
α). Minimum 1. Ordnung : Randstrahl 1 mit Strahl 1' destruktiv
interferiert (Gangunterschied : l /2) → jeder andere Strahl (
z.B.: 2 ; 3) findet Partner (2' ; 3') um destruktiv zu interferieren : dann
haben die beiden Randstrahlen den Gangunterschied d l . Für k-te Minima : Randstrahlen
haben Gangunterschied d = k* l ; k є . k-tes Minimum tritt unter
α[k] k auf :
sin
α[k] k d/b = k* l /b ; k є . Anzahl der Minima : 1 ≥
sin α[k] k = k* l /b T k ≤ b/l . Zwischen 2 Minima ist ein (im
allgemeinen lokales) Maximum .
Skizze zum Einzelspalt
Prinzip des schrägen Gitters
Gitter bestehen aus Einzelspalten
Die
Intensitätsverteilung des Gitters liegt im Interferenzmuster der Einzelspalte ,
aus denen das Gitter besteht . Daher haben die Gittermaxima verschiedene
Intensität (ist durch die Intensität der Spalte begrenzt). Insbesondere können
Gittermaxima ausfallen , wenn sie unter einem Winkel α[k] k auftreten , unter dem die
Einzelspalte ein Minimum besitzen :
b
< g ; Min. (Einzelspalt) , Max.
(Gitter) ; sin β[k] k = k* l /b , sin α[k] k = k* l /g :
Für α[k] k < β[k] k gibt es Max. (Bsp.: α : g =
2b) :
Wenn 1 bei P Min. hat , hat 2 bei P etwas Intensität : 1 & 2 kommen ja eigentlich nicht in einem Punkt P an bzw. haben nicht am selben Punkt ein Min. sondern leicht verschoben (um g) .
Dadurch sind Max. des Gitters , die eigentlich wegen s. o. ausfallen müßten evtl. noch zu sehen . Da die Intensität der Max. wegen der Einzelspalte in höheren Ordnungen stark abnimmt , sieht man evtl. Max. , die eigentlich da sein müßten , nicht mehr , da zwar Licht ankommt , aber nicht genug für unser Auge .
Polarisation
Polarisationsfolien ;
Licht ist i. A. nicht polarisiert ;
A Polarisation durch Streuung : gestreutes Licht ist polarisiert . Erklärung :
A Polarisation durch Reflexion - das Brewstersche Gesetz :
Interferenz an dünnen Schichten
Interferenz an Kristallen
Mikrowellen werden an räumlich angeordneten Kunststoffscheiben reflektiert . Versuch :
sin φ = d /d T d = sin φ *d , entsprechend d
Strahlen , die an benachbarten Ebenen reflektiert werden , haben Gangunterschied : d d d mit : d = 2* sin φ *d . Bei best. φ interferieren Strahlen konstruktiv :
d = k* l ; Winkel heißen dann Glanzwinkel
φ[k] k
T Bragg-Bed.
: k* l /(2d) = sin φ[k] k ; k =
1 ; 2 ; 3 ; .
Experimentelle Realisation bei Kristallen
Bei
Kristallen : Abstände der Netzebene im Bereich von d ≈ 10(hoch -10) m
T um Bragg-Bed. zu erfüllen :
Wellenlängen mit 10(hoch -12) - (hoch -10) m .
T Röntgenröhren → liefert kontinuierliches Spektrum von Wellen ; einzelne Wellenlängen sind besonders intensiv . Diese bes. intensive Strahlung auf Netzebene 100 von NaCl fallen lassen & φ variieren . Gleichzeitig Zählrohr um drehen (Drehkristallmethode nach Bragg).
Debye - Scherrer - Kristallpulver - Verfahren
Feingeriebenes Kristallpulver : Bestrahlung mit monochromatischer Röntgenstrahlung & Registrierung mit einem Film : Entstehung von konzentrischen Kreisen auf dem Film :
Ist φ ein Glanzwinkel , so wird räumlich so abgestrahlt , dass ein Kegel entsteht : Auftreffpunkte bilden einen Kreis .
Röntgenstrahlen "suchen" sich diejenigen Kriställchen , deren Ebenen unter Glanzwinkeln zum Röntgenstrahl liegen (wobei 99% der Strahlung so durchgeht und nur sehr wenig an den Kriställchen wirklich reflektiert wird). Aufgeklappter Film :
Fotoeffekt
→ A und K = 2 Platten eines Kondensators : dessen U kann man messen .
Man hat aber kein Spannungsmeßgerät mit R = ∞ → Trick : Quelle anschließen → A zusätzlich neg. laden → damit keine eֿ mehr ankommen , muß man entsprechende Spannung anlegen (z.B.: 1 V) : es fließt kein I mehr . → schnellste eֿ erreichen A gerade nicht mehr → haben gerade nicht mehr 1eV Energie .
Lampe : Helligkeit
Anzahl der eֿe‾
Farbe W[B] B der e‾eֿ
a kann eigentlich nicht sein , da el. mag. Wellen nur von der Amplitude abhängen nicht von der Frequenz ( Farbe) .
Überprüfung
|
Farbe |
U in V |
|
Weiß |
|
|
Violett |
|
|
Blau |
|
|
Grün |
|
|
Gelb |
|
|
Rot |
→ kein Fotoeffekt |
T W[B] B hängt von der Frequenz (→
Farbe) ab T Licht ist keine el. mag. Welle
→ besteht aus "Quanten" (≈ "Energiebrocken" unterschiedlicher Größe).
Ein einfach- kubischer Kristall läßt sich parallel zur d - Netzebene leichter spalten als in jeder anderen Richtung , da bei dieser Netzebene der Abstand benachbarter Netzebenen maximal ist .
Plancksches Wirkungsquantum & Lichtquanten
Wechselwirkung von Licht mit Materie
I. Streuung an Materie : e‾ in den Atomen werden zu Schwingungen angeregt (angeregte Atome) : senden dadurch selbst el. mag. Wellen aus .
II. Fotoeffekt : e‾ aus Atom herausgelöst → Ionisation → e‾ sind frei .
Der Fotoeffekt
Gemessener
Strom zwischen A & K wird durch herausgelöste e‾ hervorgerufen :
erreichen aufgrund ihrer W[B] B noch A & fließen über Meßgerät
zu K zurück (bei geschlossener Lochblende ohne Filter).
Größere Lichtintensität (Lochblende öffnen) (Licht darf nur auf K treffen) : größeres I .
Gegenspannung
zwischen K & A → Bestimmung von W[B, max.] B max (Anlaufen gegen E- Feld). Zum Bestimmen von W[max.] max variieren der Gegenspannung bis I =
0 A : kein e‾ gelangt mehr zu A → W[max.] max = q *U = e *U .
Lochblende
öffnen (Vergrößerung der Lichtintensität) : kein I tritt auf T freigesetzte e‾ erhalten nicht
mehr Energie : max. Gegenspannung U (nicht aber I) & damit W[max.] max der e‾ hängt nicht von
Beleuchtungsintensität ab , sondern von der Wellenlänge / Frequenz :
h- Bestimmung mit Vakuumfotozelle
Monochromatischer Lichtstrahl (Filter) fällt auf K : löst e aus : gelangen zu A : verursachen I .
Gegenspannung
U so anlegen , dass die schnellsten e gerade nicht mehr A erreichen (I = 0 nA) T W[max.] max in Abh. der Lichtfrequenz : W[max.] max = e *U
(Einheit : 1 eV = 1,6 * 10(hoch -19) J).
f- U- bzw. f- W- Schaubild ; Einstein- Gerade
Lichtfrequenz ist für W der Foto- e verantwortlich .
Geradengleichung
: W[max.] max = h *f - W[a] a ; Steigung h heißt Planksche Konstante (Plancksches Wirkungsquantum) : h =
4,14 *10 hoch eV s = 6,63 *10 hoch Js. f & Gegenspannung U bzw. W[max.] max sind nicht proportional zueinander .
Schnittpunkt
der Einstein- Gerade mit der f- Achse bestimmt die f , unterhalb derer auch
ohne Gegenspannung kein I auftritt : es werden keine e‾ herausgelöst :
kein Fotoeffekt . W[max.] max - Achsenabschnitt gibt Ablösearbeit
(Ionisationsenergie) W[a] a an.
Die W mit der eine el. mag. Welle mit Materie wechselwirkt ist also um so größer je größer die f der Welle ist (→ Widerspruch zur Elektrodynamik) .
Fotoeffekt tritt augenblicklich oder gar nicht auf . Es ist schwer vorstellbar , dass ein e‾ (pkt.- förmiges Teilchen) von einer räumlich verteilten Welle aus dem Atom herausgestoßen wird (e‾ besitzt nach der Wechselwirkung eine größeren Impuls
p = m *v).
Einstein : Licht enthält W nur als
(Licht-)Quanten oder Photonen : W[Phot] Phot = h *f.
Beim Fotoeffekt löst ein Photon ein e‾
aus dem Metall & überträgt ihm dabei seine W[Phot] Phot = h *f = W[a] a + W[max.] max . Es wird die ges. W eines Photons
an ein e‾ abgegeben : das Photon verschwindet damit (bzw. die Restenergie
/ der Restimpuls des Photons verschwindet sobald es mit dem Atomkern zsmstößt
(sehr langsame Photonen)).
Röntgenstrahlung
Entstehung von Photonen (des sichtbaren Lichts)
Wenn
ein Körper heiß ist : Stöße zwischen den Atomen : W von einem Atom aufs andere
übertragen : evtl. diese W nicht in W[B] B des gestoßenen Atoms umgewandelt , sondern e‾ aus
der Hülle erhält einen Teil dieser W :
Beschleunigung → angeregtes Atom (→ evtl. Ionisation). Solche e‾ geben die zugeführte W wieder ab & senden dabei 1 (oder mehrere) Photonen aus , dessen W der beim Stoß übertragenen W entspricht .
Röntgenstrahlung
Gibt e seine W an ein einziges Photon ab , so besitzt dieses die max. mögliche Energie (kleinste Wellenlänge). e‾ , die ihre W an mehrere Photonen abgeben , erzeugen Photonen geringerer W (größerer Wellenlänge). → kontinuierliches Spektrum der Röntgenröhre die sog. Röntgenbremsstrahlung .
Photonenimpuls & Comptoneffekt
Einschub : Wechselwirkung von Licht mit Materie
Ergebnisse aus der Relativitätstheorie
Die Lichtgeschwindigkeit ist die obere Grenze für Körper & Signale
Jeder Masse (Trägheit) m ist Energie
zugeordnet & umgekehrt , gemäß W = mc². T Ein Photon der Energie (Frequenz) W
(f) besitzt die Trägheit : m
= W[Photon]
Phot / c² = h *f / c² (relativistische Photonenmasse - nicht
Ruhemasse (m W
= h* f - W A
(= Ionisationsenergie)
Für den Impuls eines Photons gilt
dann nach 2.) : p[Photon]
Phot m[Photon] Phot *c = W[Photon] Phot / c = h *f / c = h
/ l
f[grenz]
grenz = W / h ; W = n* W[Phot] Phot = n* h* f ; S
= Bestrahlungsstärke = W / (A* t) (Einheit :
W / m²) ; Energie der vom Quant ausgelösten Fotoelektronen :
n[e] e * (W[Phot] Phot - W [a]a) (n[e] e = Anzahl der Fotoelektronen).
Stöße von Quanten mit freien Elektronen
Photon trifft auf einzelnes , ruhendes e‾ & wechselwirkt mit ihm (Stoß) : Ruhemasse des e‾ ändert sich nicht : Photon führt (schiefen) elastischen Stoß aus : W & Impuls (p) wird auf e‾ übertragen : IES & EES gelten (Mechanik) : Zustand (W & p der Partner) des Stoßpartners nach Stoß ist eindeutig bestimmt .
Bemerkung
Relativistische Rechnung : für Wellenlängenänderung Δl in Abh. von β (Streuungswinkel des Photons) muss gelten :
l l l = (1 - cos β)* h /(m[e] e * c). !! gilt nur für β ≠
0° bzw. Δl ≠ 0 m bzw. f ' ≠ 0 Hz. T Stoß ist stets schief : sonst wäre
es möglich , dass ein Quant seine ges. W & seinen ges. p an ein e‾
abgibt : bei relativistischer Rechnung des IES & EES nicht möglich . Wenn e‾
die ges. W des Photons aufnimmt , wäre sein p nicht so groß , wie der des
Photons vor dem Stoß : Es müsste einen Quant ohne W aber mit p geben :
Widerspruch zu oben .
Bestätigungsversuch
Bei a) & b) ist Z gleich : Strahlung kann Plexiglas ungehindert durchdringen . Da Z bei c) kleiner , kann es nicht mehr dieselbe Strahlung sein wie die ausgesandte Gammastrahlung . Diese Strahlung kann Plexiglas nicht so gut durchdringen : ist energieärmer : l' > l
Materiewellen - de Broglie
De- Broglie- Wellenlänge
Wenn ein Körper der Masse m den Impuls p = m* v hat , hat er die Wellenlänge l = h /p (da p = h /l
Interferenz- & Beugung von Materiewellen
Da
h sehr klein , muss p auch sehr klein sein , damit l nicht zu klein wird für geeignete
Interferenzversuche : Wir nehmen e‾ : m[e] e (hoch - 31) kg .
Bild entspricht einer Debye- Scherrer- Aufnahme mit Röntgenstrahlen .
Bestätigungsversuch für De- Broglie- Wellenlänge :
W[B] B = U aa]* e = ½ m v² T v = (2 U a[a]* e / m)
T p = m* v = (2 U a[a]* e* m) T l = h / p = h / (2 U a[a]* e* m)
Da Debye- Scherrer : sin j[n] n = sin a n [n]/2 = n* l /(2d)
Da kleine Winkel : r/a = tan a n[n] sin a n[n] = sin (2j n[n] 2 sin j n [n] = 2 sin a n [n]
T r/a = n* l /d .
A
(Einschub
:
B
Wie A nur statt Elektronen jetzt mit Kohlenstoff- 60- Atomen : es entsteht die selbe Auftreffwahrscheinlichkeit T Elektronen & Atome sind Quantenobjekte .
C
Bei Versuch A ein Loch zumachen : Es entsteht das Interferenzmuster eines Einzelspaltes T Elektron "weiß" ob 2 oder 1 Spalt offen ist .
D
Bei Versuch A einen Spalt (A) mit einem Laser ("Auge") beobachten (um herauszufinden wo die Teilchen durchfliegen (Spalt A oder B)) : Elektronen beider Spalte verhalten sich klassisch :
E
Wie Versuch D nur mit halbem Auge zusehen (nur jedes 2. Elektron wird beobachtet)
T Es entsteht eine Mischung aus A (Interferenz) & D (klassisch) .
Voraussetzung :
Keine Strahlung (keine Höhenstrahlung , Licht , etc. würde auf Elektron wie Laser wirken ; Ausschalten schwarzer Strahler : auf 0 Kelvin kühlen).
Vakuum (keine Wechselwirkung mit anderen Teilchen möglich).
Unbestimmtheitsrelationen
Annahme : die Photonen werden im
Mittel bis zum 1. Minimum abgelenkt : Abschätzung der mittleren Impulsänderung
Δ p[x] x
Winkel unter dem das 1. Min auftritt : sin (α l /b l x
Zwar wird der Impulsvektor #p geändert , aber sein Betrag nicht : p = p' = h/l
Geo.
Überlegungen : sin (a Δ
p[x] x /p' = Δ p[x] x /p
Gleichsetzen : Δ p[x] x /p ≈ l x T x * Δ p[x] x ≈ p* l = h . →
Heisenbergsche Unschärferelation .
Für die Unbestimmtheit von Ort &
Impuls von Quantenobjekten in Ausbreitungsrichtung gilt : Δx * Δ p[x] x ≈ h (Δ
p[x] x
≈ h /Δx → je kleiner Δx
, d. h. je genauer der Ort bestimmt ist , desto größer ist der mittlere Impuls
, d. h. desto größer ist die Impulsabweichung (und damit die Abweichung der
Wellenlänge) nach oben bzw. unten
Weitere Unschärferelationen :
Δ y * Δ p[y] y ≈ h ; Δ W * Δ t ≈ h ; h* Δ f * Δ t ≈
h T Δ f * Δ t ≈ 1 .
W von Photonen
Beispiel : Elektronen im H- Atom
Mittlere Ortsunbestimmtheit : Δx = L (= Atomdurchmesser) ;
Impuls
in x- Richtung des e‾ schwankt zwischen + p[x] x & -
p[x] x
T Impulsunbestimmtheit : Δ p[x] x = 2 p[x] x = 2 m [x] x
Unbestimmtheitsrelation : Δx *Δ p x [x] = h = L* 2 m x [x] T x [x] = h / (2 L m) .
Mittlere kinetische Energie in x-
Richtung : W kin , x [kin ; x] = ½ m x [x]² = h² /(8 L² m).
Mittlere kinetische Energie für alle
Richtungen : W kin [kin] = 3 h² /(8 L² m) = W L[L]
Lokalisationsenergie
Der lineare Potentialtopf
Klassisch
: Jede W[kin] kin für das e‾ möglich (
kontinuierliche Energieverteilung).
e‾ ist Quantenobjekt : sollen sie nicht strahlen , muss man sie als stehende Welle beschreiben ( Ψ- Funktion).
Jede
mögliche Wellenfunktion (deren l vom Impuls p[x] x bzw. ihrer W[kin] kin abhängt) muss die Nebenbedingung
Ψ(0) = Ψ(L) = 0 erfüllen (
Aufenthaltswahrscheinlichkeit = 0 T stehende Welle hat an den Enden
Knoten .
Für l dieser Welle gilt wegen : n* l[n] n / 2 = L T l[n] n = 2 L /n ; n I
Für den Impuls / W[kin] kin des e‾ gilt : p[n] n = h / l[n] n = h* n /(2 L)
T W[kin] kin = p [n]n ² / (2 m) = h² *n² / (8 m L²) .
Im Potentialtopf sind die möglichen Energien n²- Vielfache von W
W ist die Lokalisationsenergie .
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Potentialtopf
|Ψ |² ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
n = 1 :
n = 2 :
n = 3 :
Atomphysik
Wie kann man Spektren von Atomen berechnen ?
Bohrsches Atommodel
e‾ umkreisen Kern wie Planeten die Sonne . Dabei müßten sie strahlen
Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung) T e‾ müßte Energie verlieren T müßte in den Kern stürzen Atom wäre zerstört .
Für das Wasserstoffatom
Um Spektrum erklären zu können , fordert Bohr (3 Bohrschen Postulate) :
e‾ dürfen nur auf best. Bahnen um Kern kreisen Energiequantelung .
e‾ dürfen auf ihren Bahnen nicht strahlen
Wenn e‾ von einer weiter außen liegenden Bahn auf eine innere Bahn springen,
wird die dabei frei werdende Energie als Photon der Energie ΔW = h* f abgestrahlt (Coulombpotential des Kerns) .
Warum gehorchen e diesen Postulaten
Schrödingers Erklärungsversuch - die Wellenmechanik
e‾ im Atom = stehende Welle (de Broglie) muss auf den Bahnradius passen (1. Postulat) .
Als stehende Welle strahlt e‾ keine Energie ab (2. Postulat) .
Die Schrödingergleichung ist eine DGL , deren Lsgen Wellenfunktionen sind .
Argumentation (kausal- deterministisch) : e‾ = Welle Probleme werden erst durch die Umdeutung der Wellenfunktion gelöst , diese gibt die räumliche Wahrscheinlichkeit des e‾ im Atom an (Kopenhagener Deutung) entspricht den Orbitalen in der Chemie .
Franck- Hertz- Versuch
An K werden e‾ ausgedampft , durch UA beschleunigt & treffen dann auf die Auffangelektrode .
IA wird in Abh. von UA gemessen. U gegen zwischen A &
Auffangelektrode ist so gewählt, dass für UA = 0 V IA = 0 A
Beob.:
Bei UA < 4,9 V steigt IA kontinuierlich in Abh. von UA
Bei UA = 4,9 V sinkt er & steigt dann wieder für UA > 4,9 V.
Dies wiederholt sich jeweils bei UA = k* 4,9 V , wobei IA jedoch nicht mehr auf A sinkt , sondern stetig steigt .
Erklärung : Ab 4,9 V reicht die W B der e‾ aus um Hg- Atome anzuregen . Daher gelangen weniger e‾ zur Auffangelektrode IA sinkt . Danach steigt IA wieder bis zu 2* 4,9 V die e‾ können jetzt 2 mal Hg- Atome anregen , (k- mal). IA sinkt nicht auf 0 A : Dass die e‾ auf ihrem Weg zur Auffangelektrode 2 bzw. k Hg- Atome ionisieren wird für steigende k beliebig unwahrscheinlicher. IA steigt kontinuierlich : W B - W anregen = W B* je größer W B* , desto
größer v* der e‾ es kommen in der gleichen Zeit bei W B*,2 mehr e‾ an wie bei W B*,1 T IA steigt .
Bem. (/Beob. ?) : Die Hg- Atome strahlen die zugeführte Energie W = 4,9 eV als Quanten wieder ab .
f = W /h = 1,185* 10 Hz T l = c / f = 253 nm ultraviolettes Licht
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