Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten

Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel: Münzwurf

deterministischer Vorgang, Aufgrund unscharfer Anfangsbedingungen

ist Ergebnis nicht exakt vorhersagbar. Zwei einander ausschließende Ergebnisse: Kopf oder Zahl. Jedes Ergebnis ist gleichberechtigt Kopf oder Zahl treten jeweils mit Wahrscheinlichkeit ½ auf.

Fazit: Experiment, Versuch mit ungewissem Ausgang, zumindest prinzipiell

oder gedanklich unter gleichen Versuchsbedingungen beliebig oft

wiederholbar. Beobachtung: Bei unabhängiger Wiederholung

derartiger Versuche sind Gesetzmäßigkeiten erkennbar.

Spezialfall: Alle endlich vielen Versuchsausgänge schließen einander aus und

sind gleichberechtigt. Versuch wird "auf gut Glück" durchgeführt.

Unter diesen Voraussetzungen sei A ein Ereignis, das aus verschiedenen Versuchsausgängen zusammengesetzt sein kann.

Wahrscheinlichkeit (von Laplace)

Anzahl der für A günstigen Fälle

P(A) =

Anzahl aller möglichen Fälle

Beispiel: Münze

Spielwürfel - 6 Ausgänge, A = "6", A = "gerade Zahl"

zwei Spielwürfel - 36 Ausgänge, A = "gleiche Augenzahl"

Praxis: lange Beobachtungsreihe: mehrmalige unabhängige Durchführung

ein und desselben Experiments, Ereignis A det. Bei n Versuchen trete n(A) - mal das Ereignis A ein. Dann zeigt sich, daß die relative Häufigkeit

n(A)

(n = 1, 2, 3, )

n

für wachsendes n stabil ist. Sie schwankt mehr oder weniger um einen gewissen Wert, nämlich die Wahrscheinlichkeit P(A).

statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, begründet Kontakt der (noch zu entwickelnden) Theorie mit der Realität

Problem beim Laplace'schen Wahrscheinlichkeitsbegriff: gleichwahrscheinliche Ereignisse finden, mit deren Hilfe das interessierende Ereignis zusammengesetzt werden kann.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Kombinatorische Überlegungen

K Mengen                    A₁, A₂, , A_k'

vom Umfang n₁, n₂, , n_k Elemente

Kombination von Elementen bilden (a₁, a₂, , a_k) mit a_i I A_i

Wie viele solcher Kombinationen sind möglich ?

Fundamentalprinzip der Kombinatorik:

Anzahl verschiedener geordneter k-Tupel N = n₁ · n₂ · · n_k

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, beim Spielen

mit 3 Würfeln die maximale Augenzahl zu erreichen ?

A_i (i = 1, 2, 3) gleich, sechselementig

N = 6³ Möglichkeiten

1 günstig P(A) = 1/216

Spezialisierung des Fundamentalprinzips

geordnete Probe mit Wiederholung

Elemente können mehrfach berücksichtigt werden, "Auswahl mit Zurücklegen". Eine Menge A mit n Elementen, k Elemente wählen

Zurückführung auf Fundamentalprinzip:

A₁ = A₂ = = A_k = A N = n^k

geordnete Probe ohne Wiederholung

Eine Menge A mit n Elementen, k n Elemente wählen, dabei Zurücklegen verboten

Zurückführung auf Fundamentalprinzip:

A₁ = A Element a₁ wählen n Elemente
A₂ = A Element a₂ wählen n - 1 Elemente
A₂ = A Element a₃ wählen n - 2 Elemente

A_k = A Element a_k wählen n - k + 1 Elemente

n!
N = n (n - 1)(n - 2) (n - k + 1) =

(n - k) !

Noch spezieller:

k = n setzen Anzahl der Permutationen von n Elementen ohne Wiederholung

N = n!

Beispiel: Gruppe von k Studenten sitzt in einem Zug mit n k Wagen. Jeder

Student habe seinen Wagen unabhängig und "auf gut Glück" gewählt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß alle Studenten in verschiedenen Wagen sitzen.

Zunächst alle Möglichkeiten:

k Studenten auf n Wagen aufteilen, Problem mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge insgesamt N = n^k Möglichkeiten, Studenten auf die Wagen aufzuteilen.

Ereignis A: "höchstens ein Student pro Wagen"

für A günstige Fälle: Wiederholung verboten, Zahl der Kombinationen (mit Berücksichtigung der Reihenfolge, ohne Wiederholung)

N(A) = Möglichkeiten

Jetzt die Berücksichtigung der Reihenfolge aufgeben.

Menge A vom Umfang n, k-elementige Teilmengen bilden. Also ohne Rücklegen, ohne Wiederholung. Gesuchte Anzahl: N

Wir bekommen alle möglichen geordneten Proben aus A vom Umfang k ohne Wiederholung und jede nur einmal, indem wir zunächst eine beliebige k-elementige Teilmenge von A wählen und dann alle ihre Permutationen bilden.

Nach dem Fundamentalprinzip ergibt sich:

Teilmengen      · Permutation = Proben (m. R., o. W.)

k-elementig

Binominalkoeffizient

Zerlegung der Menge A in Teilmengen B₁, B₂, , B_s vom

Umfang k₁, k₂, , bzw. k_s

k₁ + k₂ + + k_s = n

Permutation mit Wiederholung

                            Polynominalkoeefizient

Beispiel: Qualitätskontrolle, Los von 100 Teilen, 10 wurden "auf gut Glück"

gewählt und kontrolliert. Falls kein Ausschuß, Annahme des Loses. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, daß ein Los mit 100 Ausschußteilen nicht beanstandet wird ?

Anzahl der Möglichkeiten 10 Teile aus 100 zu wählen, Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, ohne Wiederholung

Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle: 90 gute Teile, davon 10 heraus greifen

Noch offen: Aus n Elementen k herauszugreifen, mit Wiederholung (zurücklegen

erlaubt), ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Anzahl der möglichen Kombinationen

Beispiel: Auf wieviele Weisen lassen sich k Markstücke auf n Personen aufteilen

A Menge von n Personen, numerieren

Problem: ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, mit Wiederholung

Dies gibt Anlaß zu alternativen Interpretationen von Kombinationen:

Gegeben sind n Zellen, auf die k Teilchen aufgeteilt werden sollen.

Teilchen sind unterscheidbar oder nicht
Problem mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Mehrfachbelegung einer Zelle möglich oder nicht
Problem mit oder ohne Wiederholung

Beispiel: Es sind n unterschiedliche Dinge auf N Schubfächer zu verteilen. Jede

Möglichkeit der Verteilung sei gleich wahrscheinlich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangen bei der Verteilung in ein Schubfach k Dinge ?

Jedes Ding läßt sich in eines der N Schubfächer legen, N Möglichkeiten ein Ding zu verteilen.

Fundamentalprinzip

Anzahl aller Möglichkeiten bei der Verteilung ist Nⁿ

Anzahl der günstigen Fälle:

k von n Dingen auf ein Schubfach verteilen (ohne Wiederholung, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge)

Möglichkeiten dafür

die übrigen n - k Dinge in N - 1 Schubfächer (egal wie) verteilen

(N - 1)^{n -k}

Schema zur elementaren Kombinatorik

Endliche Wahrscheinlichkeiten

nächster Schritt zur Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, durch Identifizierung zufälliger Ereignisse mit Mengen

Zufälliger Versuch habe Ausgang w : Realisierung, Stichprobe oder Elementarereignis

Elementarereignis: alle Elementarereignisse (alle Versuchsausgänge) in einer

Menge W zusammenfassen: Raum aller Elementarereignisse. (gewisse) Teilmengen von W bilden dann die zufälligen Ereignisse, W und seien Ereignisse.

Beispiel: Würfelexperiment

W =

Ereignis A: "gerade Zahl würfeln"

A = W

W das "sichere Ereignis " tritt stets ein

das "unmögliche Ereignis" tritt niemals ein

Das Eintreten des Elementarereignisses w hat alle Ereignisse A mit w I A zur Folge. Die Ereignisse A sind Teilmengen des Raumes der Elementarereignisse

w I A W

Damit ist eine sichere Basis für alle näheren Betrachtungen gelegt.

Raum der Elementarereignisse entsprechend den Regeln der Mengenlehre strukturieren.

Definition: Das Ereignis A aus W, ziehe das Ereignis B aus W nach sich, A B,

falls w I A T w I B

Stets gilt: A , A W

Definition: Zieht A W das Ereignis B W sowie B das Ereignis A nach sich, so

heißen die Ereignisse A und B gleich.

A = B A B B A

Definition: Die Summe (Vereinigung) A B der Ereignisse A, B W, tritt genau

dann ein, wenn wenigstens eines der Ereignisse A oder B eintritt.

w I A B w I A w I B

Stets gilt:           A = A A A B

A A = A B A B

A W = W

Kommutativität:           A B = B A

Assoziativität: A (B C) = (A B) C

Allgemein: endliche Summe von Ereignissen

(A_i) _{i = 1, 2,} Folge von Ereignissen, A_i W. Dann bedeutet das Ereignis, das genau dann eintrifft, wenn mindestens eines der A_i eintritt.

Definition: Das Produkt (der Durchschnitt) A B der Ereignisse A, B I W tritt

genau dann ein, wenn sowohl A als auch B eintreten.

w I A B w I A w I B

Stets gilt:           A = A B A

A A = A A B B

A W = A

Außerdem gilt das Kommutativ- und das Assoziativgesetz bezüglich .

Allgemein: endliches Produkt von Ereignissen

A_i W

jedes der A_i tritt ein

Definition: Das zu A W komplementäre Ereignis tritt genau dann ein, wenn A

nicht eintritt. Es gilt

, d.h. A und zerlegen den Raum der Elementarereignisse

            

Definition: Sind A und B zufällige Ereignisse, so bezeichnen wir das Ereignis das

genau dann eintritt, wenn A aber nicht B entritt, mit A B.

Es gilt: A B = A

Bemerkung: Aufgrund der von uns gewählten Konstruktion gelten für Ereignisse

grundsätzlich die Regeln der Mengenlehre, etwa die Distributivgesetze:

A (B C) = (A B) (B C)

A (B C) = (A B) (B C)

oder die DeMorgan'sche Regel:

                       allgemein

                       allgemein

Beispiel: 4 Geräte seien in der folgenden Weise geschaltet:

A_i bezeichne das zufällige Ereignis: "Das Gerät i fällt aus"

(i = 1, 2, 3, 4)

Ereignis A: "Das System fällt aus"

Ereignis B: "Das System fällt nicht aus"

Definition: Eine Menge M zufälliger Ereignisse heißt Ereignisalgebra, wenn gilt:

E1: W I M

E2: A I M , B I M A B I M ( M ist -stabil)

E3: A I M I M

Enthält M unendlich viele Elemente, so habe M überdies die

Eigenschaft E4 : A_i I M (i = 1, 2, ) M

In diesem Fall ist M eine s-Algebra.

Folgerungen: Eine Ereignisalgebra besitzt die Eigenschaften:

I M

A, B I M A B I M, A B I M (M ist -stabil)

A_i I M (i = 1, 2, ) M

Beispiel: 1. W gegeben, sowie A W ; A W ; A ;

Ereignisalgebra M mit A I M konstruieren

M =

2. Kleinste Algebra: M =

3. Größte Algebra: M = A(W) (Potenzm. aller Teilmeng.)

Sei W = endlich mit N Elementen. Wieviele Elemente enthält dann die Potenzmenge?

Mengen A W konstruieren: Mengenbildungsprinzip

w_i I A oder w_i A

Also N "Teilchen" auf zwei Zellen aufteilen.

A(W) enthält 2^N Elemente.

Beispiel: Spiel mit zwei Würfeln: 6 · 6 = 36 Elementarereignisse

W =

A(W) enthält 2³⁶ = 68.719.476.736 Elemente

A(W) enthält qualitativ mehr Elemente als W.

W abzählbar W =

A(W) überabzählbar

In diesem Falle lassen sich "gerade noch" Wahrscheinlichkeiten auf

allen Ereignissen A Ì A(W) definieren. Bei überabzählbaren W,

z.B. W = R¹ gilt das nicht mehr.

Borel-Mengen

Sei W = R¹ die reelle Achse. Nach dem Ereignis (x I R) zu fragen ist oft nicht sinnvoll, dagegen nach sehr.

spezielle Teilmengen von W betrachten:

A = (a, b] ; -¥ < a < b <

Bilden diese Mengen eine Algebra ?

(a, b] (b, c] = (a, c] , = R

Wir müssen Menge hinzunehmen.

Definition: Sei W = R¹. Mit L bezeichnen wir die kleinste s-Algebra (Existenz

gesichert), die alle betroffenen Intervalle (a, b], -¥ < a < b < enthält.

L heißt s-Algebra der Borel-Mengen in R¹. Mittels geeigneter Parallelepipede (Rechteck, Quader, ) definiert man die s-Algebra L ⁿ der Borel-Mengen im Rⁿ.

Im folgenden setzen wir nun stets voraus, daß der jeweils betrachtete Raum der Elementarereignisse W durch eine geeignete Ereignisalgebra strukturiert sei. Nur die Elemente A I M wollen wir künftig als Ereignisse zulassen.

Definition: Es sei W ein Elementarereignisraum versehen mit der Ereignisalgebra

M. Zwei Ereignisse A, B I M heißen unvereinbar oder disjunkt, falls ihr gemeinsames Eintreten unmöglich ist.

A B =

Die Ereignisse A und B schließen einander aus.

Beispiel: 1 Würfel

Ereignis A = "ungerade Zahl würfeln"

Ereignis B = "eine Zahl größer 5 würfeln"

Definition: Eine Menge nicht unmöglich zufälliger Ereignisse ,

A I M ) heißt vollständiges Ereignissystem wenn gilt:

V1: A_i (i = 1, 2, ) paarweise unvereinbar

A_i A_k = (i k)

V2: Vollständigkeit

A₁ A₂ A_n = W

Vollständiges Ereignissystem zerlegt den Raum W.

Nächstes Ziel ist die Weiterentwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes.

Spezialisierung: Raum der Elementarereignisse sei höchstens abzählbar:

W = oder W =

Ereignisalgebra M enthalte alle einpunktigen Ereignisse A_i = I M (i = 1, 2, ).

bildet also vollständiges Ereignissystem.

Für alle A I M Wahrscheinlichkeit P(A) definieren:

A P(A) , A I M

Zuerst Funktion P : M [0, 1] auf dem vollständigen Ereignissystem definieren:

A_i P(A_i) = P() = p_i i = 1, 2,

Dabei muß für die Folge natürlich gelten p_i > 0 und = 1 für i = 1, 2,

Für ein beliebiges Ereignis A I M setzen wir P(A) := .

Beispiel: W = Menge der natürlichen Zahlen.

l > 0 feste reelle Zahl

p_k > 0

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit P:

0 P(A) 1 , mit P(A) =

P(W) = = 1

P( ) = 1 - P(W)

Additionstheorem: A und B unvereinbar P(A B) = P(A) + P(B)

Verallgemeinerung: A_i , i = 1, 2, höchstens abzählbar viele paarweise unvereinbare Ereignisse

A_i A_k = ( i k ; i, k = 1, 2, )

Unvereinbarkeit fallen lassen: A, B I M beliebig

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Isotonie der Wahrscheinlichkeit:

A B P(A) P(B)

Geometrische Wahrscheinlichkeit

Zufällige Experimente mit überabzählbar vielen Ausgängen können mit elementaren Methoden behandelt werden.

Beispiel: Eine Dame verspricht, zwischen 17.00 und 18.00 Uhr zu einem

Rendezvous zu erscheinen, nähere Angaben macht sie nicht.

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß sie zwischen 17.03 und 17.23 Uhr eintrifft ist gesucht.

Abstraktion: "Inhalt" der Menge A =

"Inhalt" der Menge W =

Beispiel: Glücksrad mit Zeiger; zufälliger Versuch: Rad drehen, wo bleibt Zeiger

stehen, jede Zeigerstellung gleichberechtigt.

Beispiel: Zwei Personen vereinbaren, sich zwischen 12 und 13 an einem

bestimmten Ort zu treffen. Jeder wartet auf den anderen nötigenfalls 15 Minuten, danach geht er. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Treffen ?

P(A) =

Allgemeines Modell: Versuch lasse sich als zufälliges Werfen eines Punktes in

einem beschränktem Grundbereich W des n-dimensionalen euklidischen Raumes zu interpretieren. Dabei gelte:

 Der geworfene Punkt kann auf jeden beliebigen Punkt w I W fallen

 Inhaltsgleiche Teilmengen von W ( = Ereignisse) haben die gleiche Wahrscheinlichkeit

 Das sichere Ereignis entspricht dem Grundbereich W

Dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

A W nach der Formel:

Bemerkungen: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also unabhängig

von der speziellen Lage und Gestalt in W

Die Analogie zum klassischen Laplace'schen Wahrscheinlichkeitsbegriff ist offensichtlich.

Die derartig definierte geometrische Wahrscheinlichkeit hat viel Anlaß zu Mißverständnissen und Einwänden gegeben. Grund: Paradoxon von Bertrand.

Aufgabe: In einem Kreis wird zufällig eine Sehne gezogen. Wie groß ist

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß deren Länge die Seite eines im Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks übertrifft ?

1. Auffassung:

Aus Symmetriegründen o.B.d.A. Richtung der Sehne festhalten. Dann senkrecht Durchmesser des Kreises betrachten.

2. Auffassung:

Spitzen des gleichseitigen Dreiecks in einem Endpunkt der Sehne, Winkel der Sehne mit Tangente.

3. Auffassung:

Mittelpunkt M der Sehne zufällig im Kreisinnern wählen. Außerdem muß Abstand M zu 0 kleiner als sein.

Lösung der Aufgabe offenbar von Lösungsweg abhängig.

Auflösung des Paradoxon: Es wurden jeweils verschiedene Aufgaben formuliert.

Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängige Ereignisse

Gegeben: Wahrscheinlichkeitsraum (W, M, P)

Modell für (realen) Bedingungskomplex eines zufälligen Experiments Ereignis B I M, P(B) > 0

zusätzliche Hypothese: "Das Ereignis B tritt ein"

Durch Hinzunahme dieser Hypothese wird der Bedingungskomlex geändert. Folglich werden sich i.a. auch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A I M ändern.

Definition: Unter den obigen Voraussetzungen heißt:

die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B.

Beispiel: Maschinensystem in Reihe

System sei ausgefallen, bereits vergeblich nach einem Fehler in Maschine I gesucht. Wie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dann die Ursache in Maschine II liegt?

Ereignis A: "Ursache des Ausfalls liegt genau an Maschine II"

Ereignis B: "Ursache des Ausfalls liegt nicht an Maschine II"

Gesucht:           P(A | B)

Es gilt hier A B, sowie P(A) = q

P(B) = 1 - P(A) = 1 - p und weiter

P(A | B) =

Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit

0 P(A | B) 1

B unvereinbar P(A | B) =

B A P(A | B) =

[X1] | W) =

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) kann kleiner, größer oder gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit P(A) sein.

Beispiel: 1 Spielwürfel

B = "gerade Augenzahl" P(B) = ½

a) A = "Augenzahl nicht größer als 3" P(A) = ½

b) A = "Augenzahl gleich 2, 3 oder 4" P(A) = ½

c) A = "Augenzahl gleich 1 oder 2" P(A) =

Hypothese: B, P(B) > 0 festhalten

Funktion A P_B (A) := P(A | B), A I M betrachten.

Bei festem B besitzt P(B) alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit; ist also eine neue Wahrscheinlichkeit auf M. - ohne Beweis -

A, B seien Ereignisse mit P(A) > 0, P(B) > 0 P(A B) = ?

Zuweilen P(A | B) oder P(B | A) bekannt oder leichter zu ermitteln. Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

Multiplikationssatz: Es seien A und B Ereignisse positiver Wahrscheinlichkeit.

Dann gilt:

Folgerung:

Beispiel: 10 Bauelemente sind in einer Kiste, 4 davon sind defekt.

2 Elemente werden nacheinander "auf gut Glück" entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Elemente intakt ? (Ereignis A)

A_i = "i-tes Element intakt" (i = 1, 2)

P(A₁) = , P(A₂ | A₁) =

Verallgemeinerung: Es seien A₁, A₂, , A_n zufällige Ereignisse mit

, dann gilt:

Gegeben: Ereignis A, vollständiges Ereignissystem

B_i paarweise disjunkt , P(B_i) > 0 )

Standpunkt: P(A) gesucht, P(A | B_i) dagegen bekannt.

Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

Beweis:

Beispiel: "Ruin des Spielers"

Spieler nimmt an Spielrunden teil: Erraten des Resultats eines Münzwurfs. Es wird um eine Mark gespielt.

Münze erraten - richtig + 1 DM - falsch - 1 DM

Anfangskapital: x DM ; x = 0, 1, (0 = keine Spielrunde möglich)

Strategie des Spielers: Solange spielen, bis Summe a Mark erreicht ist (a ³ x)

Problem: Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert der Spieler sein Kapital?

P(x) = Wahrscheinlichkeit, daß sich der Spieler mit

Anfangskapital von x DM ruiniert. (x = 0, 1, , a)

Ereignis B₁ = "Spieler gewinnt in der ersten Runde" x x + 1

Ereignis B₂ = "Spieler verliert in der ersten Runde" x x - 1

Ereignis A = "Der Spieler wird ruiniert"

B₁, B₂ : vollständiges Ereignissystem: und

und

P(A) nicht erkennbar, aber Beziehung für bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Anwenden der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit:

P(0) = 1, P(a) = 0

allgemeine Lösung der Differenzengleichung: P(x) = c₁ + c₂ · x

Einsetzen in die Randbedingungen:                

1 = P(0) = c₁ 0 = p(a) = c₁ (= 0) + c₂ · a

Lösung:            (x = 0, 1, , a)

Unabhängigkeit von Ereignissen

A, B seien Ereignisse mit P(A), P(B) > 0

möglicher Spezialfall:    (*) P(A | B) = P(A)

Damit ist falls (*) gilt.

Definition: Zufällige Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls gilt:

Bemerkung: Voraussetzungen P(A), P(B) > 0 haben wir vernachlässigt. Hat

wenigstens eines der Ereignisse A oder B die Wahrscheinlichkeit Null, so sind A und B unabhängig.

Vergleich mit dem Multiplikationssatz:

A, B I M, P(A), P(B) > 0

Man unterscheide die Begriffe "unabhängig" und "unvereinbar" für Ereignisse.

Unvereinbarkeit von A und B:

Folglich sind zwei unvereinbare Ereignisse A, B positiver Wahrscheinlichkeit nicht
unabhängig:

Beispiel: "Skatblatt"

eine Karte "auf gut Glück" ziehen

Ereignis A₁ = "Farbe ist Pik"

Ereignis A₂ = "Karte ist Dame"

Sind A₁ und A₂ unabhängig?

Formal: ,

Es gilt:

Ereignisse sind unabhängig

,

Bemerkung: Unabhängigkeit von A und B drückt aus, daß A und B

wahrscheinlichkeitstheoretisch in dem Sinne keinen Einfluß aufeinander haben, daß die Information "B tritt ein" - wenn sie überhaupt positive Wahrscheinlichkeit hat - nichts an der Wahrscheinlichkeit von A ändert.

Satz: Sind die Ereignisse A und B unabhängig, so sind es auch die

Ereignisse und B, A und , wie auch und .

Beweis: Seien A und B unabhängige Ereignisse:

Es genügt zu zeigen: Dann sind auch und B unabhängig.

Ereignis B disjunkt zerlegen:

Addivität:

Beispiel: zwei verschiedene Würfel werfen

Ereignis A = "Würfel 1 zeigt ungerade Augenzahl"

B = "Würfel 2 zeigt ungerade Augenzahl"

C = "Die Augensumme ist ungerade"

A und B offenbar unabhängig ,

bedingte Wahrscheinlichkeiten:

, aber auch

A, C sowie B, C jeweils unabhängig

anders ausgedrückt:

Ereignisse A, B ,C paarweise unabhängig.

Aber: P(C | A B) = 0 C nicht unabhängig von

es besteht hier offenbar Abhängigkeit "zu dritt" Definition

Definition: Die zufälligen Ereignisse A1, A2, , An heißen vollständig unabhängig,

wenn für beliebige k = 2, 3, , n und beliebige natürliche Zahlen i₁, i_k mit 1 i₁ < i₂ < < i_n n gilt:

Die zufälligen Ereignisse einer unendlichen Folge A₁, A₂, heißen vollständig abhängig, wenn für jedes natürliche n = 2, 3, die Ereignisse A₁, , A_n vollständig sind.

Folgerung: Sind die Ereignisse A1, , An vollständig unabhängig, so sind sie es

auch paarweise.

Bemerkungen: Die Umkehrung obiger Folgerungen gilt nicht (siehe Beispiel).

Aus der Beziehung mit P(C) > 0

folgt i.a. nicht

Beispiel:

, ,

P(D) - Inhalt von D (Länge)

Es gilt:  , sowie

Aber:   

Dies begründet die komplizierte Definition der vollständigen Unabhängigkeit.

Bayessche Formel:

Formel der totalen Wahrscheinlichkeit:

vollständiges Ereignissystem

Andere Fragestellung:  Ereignis positiver Wahrscheinlichkeiten: P(A) > 0

bekannt: P(B_i), P(A | B_i) (i = 1, 2, , n)

gesucht: P(B_k | A) = ?

Satz: (Bayessche Formel)

Unter den obigen Voraussetzungen gilt:

Beweis: nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

,

Voraussetzungen zur Anwendung der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit für P(A) erfüllt.

Sprechweise: P(B_k) a priori Wahrscheinlichkeiten

P(B_k | A) a posteriori Wahrscheinlichkeiten

Physikalisches Analogon der Bayesschen Formel:

In n Gefäßen seien Lösungen ein und desselben Stoffes in unterschiedlichen Konzentrationen enthalten. Das Gesamtvolumen der Lösungen sei 1 Liter.

P(B_k) - Volumen der Lösungen im k-ten Gefäß (k = 1, 2, , n)

P(B_k | A) = k = 1, , n

Anteil der Gesamtstoffmengen im k-ten Gefäß.

Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie

Kolmogorov 1933

Vorgegeben: - Raum der Elementarereignis

M - System von Teilmengen von : -Algebra
S1. W I M
S2. A I M M
S3. A_i I M (i = 1, 2, ) T M
P reellwertig auf M, P erfüllt die Axiome
W1. P(A) > 0
W2. P() = 1
W3. A_n I M (n = 1, 2, ) paarweise unvereinbar

Die Funktion P heißt Wahrscheinlichkeit oder auch Wahrscheinlichkeitsmaß auf M. Das Trippel (, M, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Bemerkung: Die nunmehr endgültige Fassung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

verallgemeinert unsere bisherigen Konstruktionen. Viele der im speziellen Fall gezeigten Eigenschaften sind allgemeingültig.

Eigenschaften: (Auswahl)

P( ) = 0

Beweis: P(W) = = P(W) + P( ) + P( ) + P( ) = 0

endliche Additivität
A, B unvereinbare Ereignisse

Beweis:

A₁ = A, A₂ = B, A_i = (i = 3, 4, )

= 1 - P(A), A I M

Beweis:

A I M M, ,
1 = P(W) = = P(A) +

Monotonie
; A, B I M

Beweis:

Ereignis B disjunkt zerlegen:
B =

Subaddivität
A_n, (n = 1, 2, ) Folge von Ereignissen aus M T
Beweis:

Aus (A_n) eine Folge paarweiser disjunkter Ereignisse (B_n) konstruieren:
B₁ = A₁, B₂ = A₂ A₁, B₃ = A₃ (A₁ A₂), , B_n = A_n (A₁ A₂ A_n-1)
= A_n

Weiterhin gilt: B_k A_k P(B_k) P(A_k) (k = 1, 2, )

Stetigkeit

a) isotone Folge von Ereignissen
Limes der Mengenfolge:


Beweis:

Folge (B_n) paarweise disjunkter Ereignisse,

b) antitone Folge von Ereignissen hier gilt Limes


Beweis:

durch Übergang zu den komplementären Ereignissen: monoton wachsene Folge = P(A_n)