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Referat Einführung der Kovarianz (Abweichungen)



mathematik referate

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Einführung der Kovarianz (Abweichungen)

cov (X, Y) = E(X - EX) (Y-EY) cov (X, Y) = D2X

Kovarianzmatrix:


symmetrisch, positiv definierte Matrix

Kovarianz normieren: z(X,Y) =

Aussage: Komponenten X und Y unabhängig E( X*Y) = (EX) (EY)

cov (X,Y) = 0

z(X, Y) = 0



D2(X + Y) = D2X + D2Y

(Anmerkung: +2[E (XY) - EX EY] = cov (X, Y))

Beispiel: 2-dimensionale Normalverteilung, angegeben durch die Dichte

der Verteilung von (X, Y):

f(x,y) =

                                                         y


my


mx x


cov (X, Y) = z sxsy , z(x, y) = z

X N(mx, sx , Y N(my, sy

Folgen von Zufallsgrößen


Markovsche Ungleichungen:

Es sei X eine fast sicher nicht negative Zufallsgröße: P = 1, für die der Erwartungswert EX existiert. Dann gilt für jede Zahl t > 0 die Abkürzung:


P

Beweis:

X ist diskret: Einzelwahrscheinlichkeiten P (i = 0, 1, 2, )


EX = xi P =

                              X sei fast sicher 0

EX t


P

X sei stetig: Dichte fX(x) > 0

              EX = x fX(x) dx = x fX(x) dx = x fX(x) dx + x fX(x) dx



P = 0 0

x fX(x) dx tfX(x) dx = t P T Behauptung

Bemerkung: In dieser Ungleichung wird von der Verteilung von X lediglich der

Erwartungswert EX benutzt, daher ist die obige Abschätzung oft recht grob. Zu besseren Resultaten kommt man, wenn man auch die Summe D2X der Zufallsgrößen benutzen kann.

Tschebyscheffsche Ungleichung


Die Zufallsgröße X besitze Erwartungswert und Streuung.

Dann gilt für t > 0:

P

Beweis:            Unter Anwendung der Markovschen Ungleichung auf (X - EX)2,

t wird durch t2 ersetzt:

P

Das Ereignis tritt genau dann ein,

wenn


t2 dick gekennzeichnete Bereiche

auf der t-Achse entsprechen

genau dem markierten Bereich der

t2-Achse


t2


-t t t

Bemerkungen: Für t2 D2X wird die Aussage dieser Ungleichung trivial, denn dann ist

³ 1.

Im Falle t = 3s = (den „Drei-Sigma-Grenzen“) besagt die Tschebyscheffsche Ungleichung, daß für jede Zufallsgröße X - also für jede Verteilung - mit Existieren der Streuung gilt:


 

EX-3s EX EX+3s

P = 1 - P ³ 1 - = 1 - = 1 - =

(quantitativ wichtige Aussage)

Bemerkung: Wenn die Wahrscheinlichkeit = ist, liegt X im Intervall

[EX-3s, EX+3s].



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